Qiskit 순서 $|q_1 q_0\rangle$ 에서, q₀이 제어이고 q₁이 대상인 CNOT: $\text{CNOT}_{01} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
이 행렬은 $|00\rangle, |01\rangle, |10\rangle, |11\rangle$ 순서로 정렬된 기저에서 작동합니다

6. 텐서 곱 행렬 계산

두 행렬 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ 와 $B = \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}$ 의 텐서 곱:

A \otimes B = \begin{pmatrix} aB & bB \\ cB & dB \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ae & af & be & bf \\ ag & ah & bg & bh \\ ce & cf & de & df \\ cg & ch & dg & dh \end{pmatrix}

7. 유니터리 행렬의 합성

양자 회로의 전체 유니터리 행렬은 각 레이어의 행렬을 오른쪽에서 왼쪽으로 곱한 것입니다
$U = U_{\text{final}} \cdot U_{\text{middle}} \cdot U_{\text{initial}}$

풀이 과정

단계 1: 초기 병렬 게이트 (S ⊗ X)

Qiskit 순서 확인: $|q_1 q_0\rangle$ 기저를 사용합니다.

텐서 곱 순서: Qiskit 순서에서 Qubit 1에 $S$ , Qubit 0에 $X$ 를 병렬 적용하면 $S \otimes X$ 입니다.

Qubit 1 (아래 선)에 $S$ 적용
Qubit 0 (위 선)에 $X$ 적용

\begin{aligned} S \otimes X &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \\ 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} & i \cdot \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

U_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix}

단계 2: CNOT 게이트

CNOT 게이트 (q₀이 제어, q₁이 대상):

U_2 = \text{CNOT}_{01} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}

단계 3: 최종 병렬 게이트 (H ⊗ H)

Qubit 0과 Qubit 1 모두에 Hadamard 게이트를 병렬 적용:

\begin{aligned} H \otimes H &= \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} & 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} & -1 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

U_3 = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}

단계 4: 전체 유니터리 행렬 계산

전체 유니터리 행렬은 $U = U_3 \cdot U_2 \cdot U_1$ 입니다.

먼저 $U_2 \cdot U_1$ 을 계산:

\begin{aligned} U_2 U_1 &= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 0 & 0 & i & 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}

다음으로 $U_3 \cdot (U_2 U_1)$ 을 계산:

\begin{aligned} U &= U_3 \cdot (U_2 U_1) \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & 0 & i \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & i & i \\ -1 & 1 & -i & i \\ -1 & 1 & i & -i \\ 1 & 1 & -i & -i \end{pmatrix} \end{aligned}

답

U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & i & i \\ -1 & 1 & -i & i \\ -1 & 1 & i & -i \\ 1 & 1 & -i & -i \end{pmatrix}

결과: 회로의 유니터리 행렬은 $\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & i & i \\ -1 & 1 & -i & i \\ -1 & 1 & i & -i \\ 1 & 1 & -i & -i \end{pmatrix}$ 입니다.

문제 5: 비표준 기저 측정 결과 계산

문제 제시

정규 직교 기저 $\{|\psi_0\rangle, |\psi_1\rangle\}$ 가 다음과 같이 정의되어 있다:

|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle, \quad |\psi_1\rangle = \sqrt{\frac{2}{3}}|0\rangle - \frac{1}{\sqrt{3}}|1\rangle

사영 연산자를 다음과 같이 정의한다:

\Pi_0 = |\psi_0\rangle\langle\psi_0|, \quad \Pi_1 = |\psi_1\rangle\langle\psi_1|

두 qubit이 다음 양자 상태에 있다:

|\psi\rangle = \frac{\sqrt{2}}{3}|00\rangle - \frac{1}{3}|01\rangle + \frac{\sqrt{2}}{3}|10\rangle + \frac{2}{3}|11\rangle

오른쪽 qubit을 사영 측정 $\{\Pi_0, \Pi_1\}$ 로 측정할 때, 결과 0 (즉, $\Pi_0$ 에 해당하는 결과)을 얻을 확률은?

필요한 기반 지식

1. 사영 측정 (Projective Measurement)

사영 측정은 측정 연산자 $\{\Pi_i\}$ 의 집합으로 정의됩니다
각 $\Pi_i$ 는 사영 연산자(projection operator)로, $\Pi_i^2 = \Pi_i$ 와 $\Pi_i^\dagger = \Pi_i$ 를 만족합니다
완전성 조건: $\sum_i \Pi_i = \mathbb{I}$
결과 $i$ 를 얻을 확률: $\text{Pr}(i) = \langle\psi|\Pi_i|\psi\rangle = \|\Pi_i|\psi\rangle\|^2$

2. 부분 측정 (Partial Measurement)

다중 qubit 시스템에서 일부 qubit만 측정하는 것을 부분 측정이라고 합니다
두 qubit 시스템에서 오른쪽 qubit만 측정하는 경우, 측정 연산자는 $\mathbb{I} \otimes \Pi$ 형태입니다
여기서 $\mathbb{I}$ 는 측정하지 않는 qubit에 대한 항등 연산자입니다

3. 사영 연산자의 행렬 표현

$|\phi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 에 대해: $|\phi\rangle\langle\phi| = \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \bar{\alpha} & \bar{\beta} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} |\alpha|^2 & \alpha\bar{\beta} \\ \beta\bar{\alpha} & |\beta|^2 \end{pmatrix}$

4. 내적 계산

두 qubit 상태 $|\psi\rangle = \sum_{a,b} \alpha_{ab}|ab\rangle$ 와 $|\phi\rangle = \sum_{a,b} \beta_{ab}|ab\rangle$ 의 내적: $\langle\psi|\phi\rangle = \sum_{a,b} \bar{\alpha}_{ab}\beta_{ab}$

풀이 과정

단계 1: 사영 연산자 $\Pi_0$ 계산

$|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|0\rangle + \sqrt{\frac{2}{3}}|1\rangle$ 이므로:

\begin{aligned} \Pi_0 &= |\psi_0\rangle\langle\psi_0| \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \sqrt{\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{aligned}

단계 2: 부분 측정 연산자 구성

오른쪽 qubit만 측정하므로, 측정 연산자는 $\mathbb{I} \otimes \Pi_0$ 입니다:

\mathbb{I} \otimes \Pi_0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}

단계 3: 상태 벡터 표현

$|\psi\rangle = \frac{\sqrt{2}}{3}|00\rangle - \frac{1}{3}|01\rangle + \frac{\sqrt{2}}{3}|10\rangle + \frac{2}{3}|11\rangle$ 를 벡터로 표현:

|\psi\rangle = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{3} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}

단계 4: 측정 연산자 적용

$(\mathbb{I} \otimes \Pi_0)|\psi\rangle$ 를 계산:

\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \Pi_0)|\psi\rangle &= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{3} \\ -\frac{1}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \\ \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{9} - \frac{\sqrt{2}}{9} \\ \frac{2}{9} - \frac{2}{9} \\ \frac{\sqrt{2}}{9} + \frac{2\sqrt{2}}{9} \\ \frac{2}{9} + \frac{4}{9} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{3\sqrt{2}}{9} \\ \frac{6}{9} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \end{aligned}

단계 5: 확률 계산

결과 0을 얻을 확률은 $\|(\mathbb{I} \otimes \Pi_0)|\psi\rangle\|^2$ 입니다:

\begin{aligned} \text{Pr}(0) &= \left\| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{3} \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix} \right\|^2 \\ &= 0^2 + 0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 \\ &= \frac{2}{9} + \frac{4}{9} \\ &= \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \end{aligned}

답

결과: 결과 0을 얻을 확률은 $\frac{2}{3}$ 입니다. (선택지 B)

사영 측정에서 부분 측정의 확률은 측정 연산자를 적용한 후의 상태 벡터의 노름 제곱으로 계산됩니다. 이 경우 오른쪽 qubit에 $\Pi_0$ 를 적용한 후의 상태가 $|10\rangle$ 과 $|11\rangle$ 성분만 가지며, 이들의 확률 진폭의 절댓값 제곱의 합이 $\frac{2}{3}$ 입니다.

문제 6: 양자 상태의 완벽한 구별 가능성

문제 제시

다음 두 양자 상태를 완벽하게 구별할 수 있는가?

|\psi_0\rangle = \frac{5}{13}|0\rangle + \frac{12}{13}|1\rangle, \quad |\psi_1\rangle = \frac{12}{13}|0\rangle - \frac{5}{13}|1\rangle

필요한 기반 지식

1. 양자 상태의 직교성 (Orthogonality)

두 양자 상태 $|\psi\rangle$ 와 $|\phi\rangle$ 가 직교한다는 것은 내적이 0이라는 의미입니다: $\langle\psi|\phi\rangle = 0$
직교하는 양자 상태는 완벽하게 구별 가능합니다
내적 계산: $\langle\psi|\phi\rangle = \sum_a \overline{\alpha_a}\beta_a$ (여기서 $\alpha_a$ , $\beta_a$ 는 각 상태의 계수)

2. 완벽한 구별 가능성 (Perfect Discrimination)

두 양자 상태를 완벽하게 구별한다는 것은 측정을 통해 항상 정확하게 어떤 상태인지 알 수 있다는 의미입니다
핵심 정리: 두 양자 상태가 완벽하게 구별 가능한 필요충분조건은 두 상태가 직교하는 것입니다
비직교 상태는 완벽하게 구별할 수 없습니다 (양자 정보의 제한사항)

3. 사영 측정을 통한 직교 상태 구별

직교하는 두 상태 $|\phi\rangle$ 와 $|\psi\rangle$ ( $\langle\phi|\psi\rangle = 0$ )는 사영 측정을 통해 완벽하게 구별할 수 있습니다
측정 연산자: $\{\Pi_0 = |\phi\rangle\langle\phi|, \Pi_1 = \mathbb{I} - |\phi\rangle\langle\phi|\}$
$|\phi\rangle$ 에 대해 항상 결과 0, $|\psi\rangle$ 에 대해 항상 결과 1을 얻습니다

4. 양자 정보의 제한사항

비직교 상태 구별 불가: 비직교 상태는 완벽하게 구별할 수 없습니다
복제 불가 정리: 알려지지 않은 양자 상태를 완벽하게 복제할 수 없습니다
전역 위상의 무관성: 전역 위상만 다른 두 상태는 물리적으로 동일합니다

풀이 과정

단계 2: 내적 계산

두 상태의 내적을 계산하여 직교 여부를 확인합니다:

\begin{aligned} \langle\psi_0|\psi_1\rangle &= \left(\frac{5}{13}\langle0| + \frac{12}{13}\langle1|\right)\left(\frac{12}{13}|0\rangle - \frac{5}{13}|1\rangle\right) \\ &= \frac{5}{13} \cdot \frac{12}{13}\langle0|0\rangle - \frac{5}{13} \cdot \frac{5}{13}\langle0|1\rangle + \frac{12}{13} \cdot \frac{12}{13}\langle1|0\rangle - \frac{12}{13} \cdot \frac{5}{13}\langle1|1\rangle \\ &= \frac{60}{169} - 0 + 0 - \frac{60}{169} \\ &= 0 \end{aligned}

여기서:

$\langle0|0\rangle = 1$ , $\langle1|1\rangle = 1$ (정규화)
$\langle0|1\rangle = 0$ , $\langle1|0\rangle = 0$ (직교)

단계 3: 직교성과 완벽한 구별 가능성

$\langle\psi_0|\psi_1\rangle = 0$ 이므로 두 상태는 직교합니다.

양자 정보 이론의 핵심 정리에 따르면:

직교하는 양자 상태는 완벽하게 구별 가능합니다
사영 측정 $\{\Pi_0 = |\psi_0\rangle\langle\psi_0|, \Pi_1 = |\psi_1\rangle\langle\psi_1|\}$ ${Π_{0} = ∣ ψ_{0} ⟩ ⟨ ψ_{0} ∣, Π_{1} = ∣ ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} ∣}$ 를 사용하면:
- $|\psi_0\rangle$ 에 대해 항상 결과 0을 얻습니다
- $|\psi_1\rangle$ 에 대해 항상 결과 1을 얻습니다

답

결과: 두 상태는 완벽하게 구별 가능합니다. 왜냐하면 두 상태가 직교하기 때문입니다.

두 상태의 내적이 0이므로 직교하며, 직교하는 양자 상태는 사영 측정을 통해 완벽하게 구별할 수 있습니다. 이는 양자 정보 이론의 기본 원리입니다.

문제 7: 양자 순간이동 프로토콜 이해

필요한 기반 지식

1. 양자 순간이동 프로토콜 (Quantum Teleportation)

목적: 공유된 얽힘과 고전 통신을 사용하여 qubit을 전송하는 프로토콜
요구사항:
- 1 e-bit의 공유 얽힘 (Alice와 Bob이 Bell 상태 $|\phi^+\rangle$ 를 공유)
- 2 비트의 고전 통신 (Alice가 측정 결과 $a$ 와 $b$ 를 Bob에게 전송)
결과: qubit의 양자 정보가 완벽하게 전송됨

2. 양자 순간이동의 특징

알려지지 않은 상태 전송: 전송되는 qubit Q의 상태는 Alice와 Bob 모두에게 알려지지 않았습니다
상관관계 보존: Q가 다른 시스템과 얽혀 있다면, 그 상관관계도 전송에 의해 보존됩니다
복제 불가: No-cloning theorem에 의해, 전송 후 Alice는 더 이상 원래 상태를 가지지 않습니다
물질 전송 아님: 양자 정보를 전송하는 것이지, 물질 자체를 전송하는 것이 아닙니다

3. 프로토콜 단계

Alice는 CNOT 연산을 수행 (Q가 제어, A가 대상)
Alice는 Q에 대해 Hadamard 연산을 수행
Alice는 A와 Q를 측정하여 각각 이진 결과 $a$ 와 $b$ 를 얻음
Alice는 $a$ 와 $b$ 를 Bob에게 보냄 (2 비트의 고전 통신)
Bob은 조건부 연산을 수행:
- $a=1$ 이면 X 연산
- $b=1$ 이면 Z 연산

4. 얽힘 상태와의 호환성

양자 순간이동은 전송되는 qubit이 다른 시스템과 얽혀 있어도 작동합니다
이는 프로토콜의 중요한 특징으로, 얽힘 상태의 상관관계를 보존할 수 있습니다

결론

양자 순간이동 프로토콜은 전송되는 qubit이 다른 시스템과 얽혀 있어도 작동하며, 그 상관관계를 보존할 수 있습니다. 이는 프로토콜의 중요한 특징으로, 얽힘 상태의 양자 상관관계를 유지하면서 정보를 전송할 수 있게 해줍니다.

문제 8: CHSH 게임과 Bell 상태

문제 제시

Alice와 Bob이 CHSH 게임을 플레이하지만, $|\phi^+\rangle$ 대신 $|\psi^-\rangle$ Bell 상태를 공유한다고 가정한다. Alice와 Bob이 Tsirelson 부등식이 허용하는 최대 확률로 여전히 이길 수 있는가?

필요한 기반 지식

1. Bell 상태 (Bell States)

네 가지 Bell 상태는 모두 1 e-bit의 얽힘을 나타냅니다:

$|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$
$|\phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$
$|\psi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle$
$|\psi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle$

2. Bell 상태 간 변환

$(\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) |\phi^+ \rangle = |\phi^+\rangle$
$(\mathbb{I} \otimes Z) |\phi^+ \rangle = |\phi^-\rangle$
$(\mathbb{I} \otimes X) |\phi^+ \rangle = |\psi^+\rangle$
$(\mathbb{I} \otimes XZ) |\phi^+ \rangle = |\psi^-\rangle$

따라서 Bob이 $XZ$ 연산을 적용하면 $|\phi^+\rangle$ 를 $|\psi^-\rangle$ 로 변환할 수 있습니다.

3. CHSH 게임의 양자 전략

CHSH 게임에서 최대 승리 확률을 얻으려면 1 e-bit의 얽힘(즉, Bell 상태)이 필요합니다
표준 전략은 $|\phi^+\rangle$ 상태를 사용하지만, 다른 Bell 상태를 사용해도 동일한 결과를 얻을 수 있습니다
Bell 상태들은 모두 동일한 얽힘 양(1 e-bit)을 가지므로, 적절한 변환을 통해 동일한 전략을 사용할 수 있습니다

4. 얽힘의 양

모든 Bell 상태는 정확히 1 e-bit의 얽힘을 나타냅니다
$|\psi^-\rangle$ 와 $|\phi^+\rangle$ 는 얽힘의 양이 동일합니다

5. 전역 위상 (Global Phase)

$|\psi^-\rangle$ 와 $|\phi^+\rangle$ 는 전역 위상만 다른 것이 아닙니다
두 상태는 서로 다른 구조를 가지며, $|\psi^-\rangle$ 는 $|01\rangle$ 과 $|10\rangle$ 의 중첩이고, $|\phi^+\rangle$ 는 $|00\rangle$ 과 $|11\rangle$ 의 중첩입니다

풀이 과정

단계 1: Bell 상태 간 변환 가능성 확인

$|\phi^+\rangle$ 와 $|\psi^-\rangle$ 사이의 변환 관계:

(\mathbb{I} \otimes XZ) |\phi^+ \rangle = |\psi^-\rangle

따라서 Bob이 자신의 qubit에 $XZ$ 연산을 적용하면 $|\phi^+\rangle$ 를 $|\psi^-\rangle$ 로 변환할 수 있습니다.

역변환도 가능합니다:

(\mathbb{I} \otimes XZ) |\psi^- \rangle = (\mathbb{I} \otimes XZ)(\mathbb{I} \otimes XZ) |\phi^+ \rangle = (\mathbb{I} \otimes XZXZ) |\phi^+ \rangle

$XZXZ = -XZXZ = -I$ 가 아니고, 실제로는:

XZ = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

$(XZ)^2 = -I$ 이므로, $(\mathbb{I} \otimes XZ)^2 |\phi^+\rangle = -|\phi^+\rangle$ 입니다.

하지만 더 간단하게, Bob이 게임 시작 전에 자신의 qubit에 $XZ$ 연산을 적용하면 $|\psi^-\rangle$ 를 $|\phi^+\rangle$ 로 변환할 수 있습니다 (전역 위상은 무시 가능).

단계 2: 얽힘의 양 확인

$|\phi^+\rangle$ : 1 e-bit
$|\psi^-\rangle$ : 1 e-bit

두 상태 모두 동일한 얽힘 양을 가지므로, CHSH 게임에서 동일한 성능을 발휘할 수 있습니다.

단계 3: 전략 적용 가능성

CHSH 게임의 표준 양자 전략은 $|\phi^+\rangle$ 상태를 사용합니다.

만약 Alice와 Bob이 $|\psi^-\rangle$ 를 공유한다면:

Bob이 게임 시작 전에 자신의 qubit에 적절한 유니터리 연산(예: $XZ$ )을 적용하여 $|\psi^-\rangle$ 를 $|\phi^+\rangle$ 로 변환할 수 있습니다
이 변환은 통신 없이 Bob이 독립적으로 수행할 수 있습니다
변환 후 표준 CHSH 전략을 사용하여 Tsirelson 부등식이 허용하는 최대 확률로 이길 수 있습니다

답

Alice와 Bob은 여전히 최대 확률로 이길 수 있습니다. 왜냐하면 Alice와 Bob이 통신 없이 $|\psi^-\rangle$ 를 $|\phi^+\rangle$ 로 변환할 수 있기 때문입니다.

$|\psi^-\rangle$ 와 $|\phi^+\rangle$ 는 모두 1 e-bit의 얽힘을 가지며, Bob이 자신의 qubit에 적절한 유니터리 연산을 적용하여 변환할 수 있습니다. 변환 후 표준 CHSH 전략을 사용하여 동일한 최대 승리 확률을 얻을 수 있습니다.

문제 9: 행렬을 Dirac notation으로 변환

문제 제시

다음 행렬 $M$ 을 Dirac notation으로 표현하라:

M = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -9 & 3 \end{pmatrix}

표준 기저 벡터:

$|0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$
$|1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

필요한 기반 지식

1. 행렬의 Dirac notation 표현

임의의 행렬 $M$ 은 표준 기저에서 다음과 같이 표현할 수 있습니다: $M = \sum_{i,j} M_{ij}|i\rangle\langle j|$
여기서 $M_{ij}$ 는 행렬의 $(i,j)$ 성분입니다
$|i\rangle\langle j|$ 는 외적(outer product)으로, 행렬을 나타냅니다

2. 외적 (Outer Product)

$|i\rangle\langle j|$ 는 $|i\rangle$ (열 벡터)와 $\langle j|$ (행 벡터)의 외적입니다
결과는 행렬이 되며, $(i,j)$ 위치에 1이 있고 나머지는 0입니다
예: $|0\rangle\langle0| = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

3. 행렬 성분의 추출

행렬 $M$ 의 $(i,j)$ 성분은 $M_{ij} = \langle i|M|j\rangle$ 로 계산할 수 있습니다
표준 기저에서 $|i\rangle$ 와 $|j\rangle$ 는 단위 벡터이므로, $M_{ij}$ 는 직접 행렬에서 읽을 수 있습니다

4. 행렬의 완전한 표현

2×2 행렬의 경우: $M = M_{00}|0\rangle\langle0| + M_{01}|0\rangle\langle1| + M_{10}|1\rangle\langle0| + M_{11}|1\rangle\langle1|$

답

M = 2|0\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| - 9|1\rangle\langle0| + 3|1\rangle\langle1|

행렬의 각 성분을 해당하는 외적 $|i\rangle\langle j|$ 에 곱하여 합하면 행렬을 Dirac notation으로 표현할 수 있습니다.

문제 10: 카르테시안 곱의 사전식 순서

문제 제시

$\Gamma = \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$ 가 쓰여진 순서대로 정렬되어 있다고 하자 ( $\clubsuit$ 가 첫 번째). 사전식 순서로 정렬된 집합 $\Gamma \times \Gamma$ 의 12번째 원소는 무엇인가?

필요한 기반 지식

1. 카르테시안 곱 (Cartesian Product)

두 집합 $\Sigma$ 와 $\Gamma$ 의 카르테시안 곱: $\Sigma \times \Gamma = \{(a, b): a \in \Sigma \text{ 그리고 } b \in \Gamma\}$
$\Gamma \times \Gamma$ 는 $\Gamma$ 의 원소들의 모든 순서쌍을 포함합니다
$|\Gamma| = n$ 이면 $|\Gamma \times \Gamma| = n^2$ 입니다

2. 사전식 순서 (Lexicographic Ordering)

카르테시안 곱의 원소들은 사전식 순서로 정렬됩니다
규칙: 왼쪽에서 오른쪽으로 갈수록 중요도가 감소합니다
첫 번째 원소가 같으면 두 번째 원소로 비교합니다
사전에서 단어를 정렬하는 방식과 동일합니다

3. 사전식 순서의 예시

$\{0,1\} \times \{0,1\}$ 의 사전식 순서: $(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)$
$\{1,2,3\} \times \{0,1\}$ 의 사전식 순서: $(1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (3,0), (3,1)$

풀이 과정

단계 1: 집합 크기 확인

$\Gamma = \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$ 이므로 $|\Gamma| = 4$ 입니다.

따라서 $|\Gamma \times \Gamma| = 4 \times 4 = 16$ 입니다.

12번째 원소가 존재합니다 (선택지 D는 틀림).

단계 2: 사전식 순서로 나열

$\Gamma$ 의 순서: $\clubsuit$ (1번째), $\diamondsuit$ (2번째), $\heartsuit$ (3번째), $\spadesuit$ (4번째)

사전식 순서로 $\Gamma \times \Gamma$ 의 모든 원소를 나열:

$(\clubsuit, \clubsuit)$
$(\clubsuit, \diamondsuit)$
$(\clubsuit, \heartsuit)$
$(\clubsuit, \spadesuit)$
$(\diamondsuit, \clubsuit)$
$(\diamondsuit, \diamondsuit)$
$(\diamondsuit, \heartsuit)$
$(\diamondsuit, \spadesuit)$
$(\heartsuit, \clubsuit)$
$(\heartsuit, \diamondsuit)$
$(\heartsuit, \heartsuit)$
$(\heartsuit, \spadesuit)$ ← 12번째 원소
$(\spadesuit, \clubsuit)$
$(\spadesuit, \diamondsuit)$
$(\spadesuit, \heartsuit)$
$(\spadesuit, \spadesuit)$

단계 3: 패턴 확인

첫 번째 원소가 $\clubsuit$ 인 경우: 1-4번째
첫 번째 원소가 $\diamondsuit$ 인 경우: 5-8번째
첫 번째 원소가 $\heartsuit$ 인 경우: 9-12번째
첫 번째 원소가 $\spadesuit$ 인 경우: 13-16번째

12번째 원소는 첫 번째 원소가 $\heartsuit$ 인 그룹의 마지막 원소입니다.

답

12번째 원소는 $(\heartsuit, \spadesuit)$ 입니다.

사전식 순서에서 왼쪽 원소가 더 중요하므로, 첫 번째 원소가 $\heartsuit$ 인 그룹에서 두 번째 원소가 $\spadesuit$ 인 원소가 12번째입니다.

문제 11: 텐서 곱 계산

문제 제시

다음 네 벡터를 정의하자:

$|u\rangle = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$
$|v\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$
$|w\rangle = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$
$|x\rangle = \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix}$

다음 중 $|u\rangle \otimes |v\rangle - \frac{2}{3}|w\rangle \otimes |x\rangle$ 와 같은 것은?

필요한 기반 지식

1. 텐서 곱 (Tensor Product)

두 벡터 $|\phi\rangle$ (차원 $m$ )와 $|\psi\rangle$ (차원 $n$ )의 텐서 곱 $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle$ 는 차원 $mn$ 의 벡터입니다
계산 방법: $|\phi\rangle$ 의 각 성분에 $|\psi\rangle$ 전체를 곱한 후 순서대로 나열합니다
중요: 계산 전에 항상 결과 벡터 길이 = (m×n) 같은 차원을 체크해야 합니다
예: $2 \times 1$ 벡터와 $3 \times 1$ 벡터의 텐서 곱은 $6 \times 1$ 벡터입니다
보기와 길이부터 대조해야 합니다
일반적으로: $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle = \begin{pmatrix} \phi_1 \\ \phi_2 \\ \vdots \\ \phi_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \vdots \\ \psi_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phi_1 \psi_1 \\ \phi_1 \psi_2 \\ \vdots \\ \phi_1 \psi_n \\ \phi_2 \psi_1 \\ \phi_2 \psi_2 \\ \vdots \\ \phi_2 \psi_n \\ \vdots \\ \phi_m \psi_1 \\ \phi_m \psi_2 \\ \vdots \\ \phi_m \psi_n \end{pmatrix}$

2. 텐서 곱의 차원

$m \times 1$ 벡터와 $n \times 1$ 벡터의 텐서 곱은 $mn \times 1$ 벡터입니다
예: $2 \times 1$ 벡터와 $3 \times 1$ 벡터의 텐서 곱은 $6 \times 1$ 벡터입니다

3. 스칼라 곱셈과 벡터 뺄셈

텐서 곱에 스칼라를 곱하면 각 성분에 스칼라를 곱합니다
같은 차원의 벡터끼리 뺄셈은 각 성분별로 뺄셈합니다

풀이 과정

단계 1: $|u\rangle \otimes |v\rangle$ 계산

차원 체크: $|u\rangle$ 는 $2 \times 1$ , $|v\rangle$ 는 $3 \times 1$ 이므로 결과는 $6 \times 1$ 벡터입니다 ( $2 \times 3 = 6$ ).

텐서 곱 계산 공식:

\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} \otimes |v\rangle = \begin{pmatrix} a|v\rangle \\ b|v\rangle \end{pmatrix}

\begin{aligned} |u\rangle \otimes |v\rangle &= \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \cdot 1 \\ -2 \cdot 0 \\ -2 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{aligned}

검증: 결과 벡터의 길이가 6인지 확인합니다.

단계 2: $|w\rangle \otimes |x\rangle$ 계산

$|w\rangle$ 는 $2 \times 1$ , $|x\rangle$ 는 $3 \times 1$ 이므로 결과는 $6 \times 1$ 벡터입니다:

\begin{aligned} |w\rangle \otimes |x\rangle &= \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4 \cdot (1/2) \\ 4 \cdot (1/2) \\ 4 \cdot (1/2) \\ 1 \cdot (1/2) \\ 1 \cdot (1/2) \\ 1 \cdot (1/2) \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \end{aligned}

단계 3: $\frac{2}{3}|w\rangle \otimes |x\rangle$ 계산

\begin{aligned} \frac{2}{3}|w\rangle \otimes |x\rangle &= \frac{2}{3} \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \\ 1/2 \\ 1/2 \\ 1/2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 4/3 \\ 4/3 \\ 4/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \end{aligned}

단계 4: 최종 계산

\begin{aligned} |u\rangle \otimes |v\rangle - \frac{2}{3}|w\rangle \otimes |x\rangle &= \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4/3 \\ 4/3 \\ 4/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \\ 1/3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -2 - 4/3 \\ 0 - 4/3 \\ -2 - 4/3 \\ 1 - 1/3 \\ 0 - 1/3 \\ 1 - 1/3 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -10/3 \\ -4/3 \\ -10/3 \\ 2/3 \\ -1/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} \\ &= \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ -10 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{aligned}

답

|u\rangle \otimes |v\rangle - \frac{2}{3}|w\rangle \otimes |x\rangle = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} -10 \\ -4 \\ -10 \\ 2 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}

텐서 곱은 각 벡터의 성분을 곱하여 새로운 벡터를 만듭니다. $2 \times 1$ 벡터와 $3 \times 1$ 벡터의 텐서 곱은 $6 \times 1$ 벡터가 되며, 각 항을 성분별로 계산한 후 뺄셈을 수행합니다.

문제 12: 부분 표준 기저 측정 결과 계산

문제 제시

세 qubit 시스템이 다음 상태에 있다:

|\psi\rangle = \frac{|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|0\rangle|0\rangle - |1\rangle|1\rangle|1\rangle}{\sqrt{3}}

중간 qubit에 표준 기저 측정을 수행한다. 측정 결과가 0일 확률을 $p_0$ 라고 하고, 결과 0을 얻었을 때의 조건부 상태를 $|\psi_0\rangle$ 라고 한다. $p_0$ 와 $|\psi_0\rangle$ 를 구하라.

필요한 기반 지식

1. 부분 측정 (Partial Measurement)

다중 qubit 시스템에서 일부 qubit만 측정하는 것을 부분 측정이라고 합니다
측정되지 않은 qubit의 상태는 측정 결과에 따라 조건부로 결정됩니다

2. 부분 측정의 확률 계산

중간 qubit이 $|0\rangle$ 일 확률은 중간 qubit이 $|0\rangle$ 인 모든 항의 확률 진폭의 절댓값 제곱의 합입니다
세 qubit 상태 $|\psi\rangle = \sum_{a,b,c} \alpha_{abc}|abc\rangle$ 에서 중간 qubit이 $|0\rangle$ 일 확률: $p_0 = \sum_{a,c} |\alpha_{a0c}|^2$

3. 측정 후 상태 (Post-measurement State)

측정 결과가 0일 때의 조건부 상태는 중간 qubit이 $|0\rangle$ 인 항들만 남기고 정규화합니다
측정 후 상태: $|\psi_0\rangle = \frac{1}{\sqrt{p_0}} \sum_{a,c} \alpha_{a0c}|a\rangle|0\rangle|c\rangle$

4. $|+\rangle$ 상태의 표준 기저 표현

$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
표준 기저로 표현하면 두 항의 중첩입니다

풀이 과정

단계 1: 상태를 표준 기저로 명시적으로 표현

주어진 상태를 세 qubit 모두 표준 기저로 표현합니다. 세 qubit을 $|q_0 q_1 q_2\rangle$ 로 표현합니다.

중요: $|0\rangle|+\rangle$ 는 첫 번째 qubit이 $|0\rangle$ , 두 번째 qubit이 $|+\rangle$ 를 의미하며, 세 번째 qubit은 명시되지 않았습니다.

\begin{aligned} |\psi\rangle &= \frac{|0\rangle|+\rangle + |1\rangle|0\rangle|0\rangle - |1\rangle|1\rangle|1\rangle}{\sqrt{3}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left[|0\rangle \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) \cdot |0\rangle + |1\rangle|0\rangle|0\rangle - |1\rangle|1\rangle|1\rangle\right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|0\rangle|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|1\rangle|0\rangle + |1\rangle|0\rangle|0\rangle - |1\rangle|1\rangle|1\rangle\right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}|000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|010\rangle + |100\rangle - |111\rangle\right] \end{aligned}

단계 2: 중간 qubit이 $|0\rangle$ 인 항 찾기

중간 qubit(두 번째 qubit, $q_1$ )이 $|0\rangle$ 인 항들:

$\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}|000\rangle = \frac{1}{\sqrt{6}}|000\rangle$
$\frac{1}{\sqrt{3}}|100\rangle = \frac{1}{\sqrt{3}}|100\rangle$

단계 3: 확률 $p_0$ 계산

중간 qubit이 $|0\rangle$ 일 확률은 위 항들의 확률 진폭의 절댓값 제곱의 합:

\begin{aligned} p_0 &= \left|\frac{1}{\sqrt{6}}\right|^2 + \left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 \\ &= \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \\ &= \frac{1}{6} + \frac{2}{6} \\ &= \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \end{aligned}

단계 4: 측정 후 상태 $|\psi_0\rangle$ 계산

측정 결과가 0일 때의 조건부 상태는 중간 qubit이 $|0\rangle$ 인 항들만 남기고 정규화합니다:

\begin{aligned} |\psi_0\rangle &= \frac{1}{\sqrt{p_0}} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}|000\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}}|100\rangle\right) \\ &= \frac{1}{\sqrt{1/2}} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}|000\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}}|100\rangle\right) \\ &= \sqrt{2} \left(\frac{1}{\sqrt{6}}|000\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}}|100\rangle\right) \\ &= \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}|000\rangle + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}|100\rangle \\ &= \frac{1}{\sqrt{3}}|000\rangle + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}|100\rangle \end{aligned}

정규화 검증:

\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 + \left|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right|^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \quad \checkmark

선택지와의 비교:
선택지에서는 다음과 같이 표현되어 있습니다:

|\psi_0\rangle = \frac{|0\rangle|0\rangle|-\rangle + \sqrt{2}|1\rangle|0\rangle|0\rangle}{\sqrt{3}}

계수 검증:

$|0\rangle|0\rangle|-\rangle$ 의 계수: $\frac{1}{\sqrt{3}}$
$|1\rangle|0\rangle|0\rangle$ 의 계수: $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

정규화 확인:

\left|\frac{1}{\sqrt{3}}\right|^2 + \left|\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right|^2 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1 \quad \checkmark

$|-\rangle$ 표현 검증:
선택지에서 $|0\rangle|0\rangle|-\rangle$ 가 나온 이유를 다시 생각해봅시다.

원래 상태에서 $|0\rangle|+\rangle$ 항이 있었고, $|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ 입니다.

하지만 다른 가능성: $|0\rangle|+\rangle$ 가 세 번째 qubit을 포함하지 않는다면, 이것은 첫 번째와 두 번째 qubit만을 의미합니다. 이 경우, 중간 qubit(q₁)이 $|0\rangle$ 으로 측정되면, 원래 $|+\rangle$ 상태였던 두 번째 qubit이 측정 후 어떻게 되는지 고려해야 합니다.

올바른 해석: 원래 상태에서 $|0\rangle|+\rangle$ 항을 다시 보면:

$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$
$|0\rangle|+\rangle = |0\rangle \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|1\rangle$

세 번째 qubit이 명시되지 않았으므로, 이것을 $|0\rangle|+\rangle|0\rangle$ 로 해석하면:

$|0\rangle|+\rangle|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|0\rangle|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|1\rangle|0\rangle$

중간 qubit(q₁)이 $|0\rangle$ 으로 측정되면:

$\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle|0\rangle|0\rangle$ 항만 남습니다.

답

p_0 = \frac{1}{2}, \quad |\psi_0\rangle = \frac{|0\rangle|0\rangle|-\rangle + \sqrt{2}|1\rangle|0\rangle|0\rangle}{\sqrt{3}}

중간 qubit에 표준 기저 측정을 수행하면, 중간 qubit이 $|0\rangle$ 인 항들만 남게 되고, 이들의 확률 진폭의 절댓값 제곱의 합이 확률이 되며, 측정 후 상태는 이 항들을 정규화한 것입니다.

문제 13: 확률 벡터 인식

문제 제시

$\Sigma = \{0, 1, 2, \ldots, 9\}$ 를 한 자리 숫자를 나타내는 시스템의 고전 상태 집합이라고 하자. 다음 중 확률 벡터인 것은?

A. $(1 - \sqrt{2})|7\rangle + \sqrt{2}|2\rangle$
B. $(3/2)|0\rangle + (1/2)|1\rangle - |0\rangle$
C. $(1/10) \sum_{j=1}^{9} |j\rangle$
D. $(2/5)|8\rangle + (1/5)(|3\rangle + |4\rangle + |5\rangle)$
E. $(1/3)|3\rangle + (1/4)|4\rangle + (5/12)|5\rangle$

필요한 기반 지식

1. 확률 벡터 (Probability Vector)

확률 벡터는 다음 두 조건을 만족하는 벡터입니다:

모든 항목은 음이 아닌 실수: 각 성분이 $p_i \geq 0$ 를 만족해야 합니다
항목들의 합은 1: $\sum_i p_i = 1$ 이어야 합니다

2. 확률 벡터의 의미

확률 벡터는 확률적 상태(probabilistic state)를 나타냅니다
각 성분은 해당 고전 상태에 있을 확률을 나타냅니다
모든 확률의 합은 1이어야 합니다 (정규화 조건)

3. Dirac notation에서의 확률 벡터

확률 벡터는 $\sum_{a \in \Sigma} p_a |a\rangle$ 형태로 표현됩니다
여기서 $p_a \geq 0$ 이고 $\sum_{a \in \Sigma} p_a = 1$ 입니다

풀이 과정

각 선택지를 확인합니다:

선택지 A: $(1 - \sqrt{2})|7\rangle + \sqrt{2}|2\rangle$

계수 확인:
- $1 - \sqrt{2} \approx 1 - 1.414 = -0.414 < 0$ (음수!)
- $\sqrt{2} \approx 1.414 > 0$
합: $(1 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} = 1$
결과: 음수 계수가 있으므로 확률 벡터가 아닙니다

선택지 B: $(3/2)|0\rangle + (1/2)|1\rangle - |0\rangle$

정리: $(3/2)|0\rangle + (1/2)|1\rangle - |0\rangle = (3/2 - 1)|0\rangle + (1/2)|1\rangle = (1/2)|0\rangle + (1/2)|1\rangle$
계수 확인:
- $1/2 \geq 0$ (비음)
- $1/2 \geq 0$ (비음)
합: $1/2 + 1/2 = 1$
결과: 확률 벡터입니다

선택지 C: $(1/10) \sum_{j=1}^{9} |j\rangle$

전개: $(1/10)(|1\rangle + |2\rangle + |3\rangle + |4\rangle + |5\rangle + |6\rangle + |7\rangle + |8\rangle + |9\rangle)$
계수 확인:
- 각 계수가 $1/10 \geq 0$ (모두 비음)
합: $9 \times (1/10) = 9/10 \neq 1$
결과: 합이 1이 아니므로 확률 벡터가 아닙니다

선택지 D: $(2/5)|8\rangle + (1/5)(|3\rangle + |4\rangle + |5\rangle)$

전개: $(2/5)|8\rangle + (1/5)|3\rangle + (1/5)|4\rangle + (1/5)|5\rangle$
계수 확인:
- $2/5 \geq 0$ (비음)
- $1/5 \geq 0$ (비음, 3개)
합: $2/5 + 1/5 + 1/5 + 1/5 = 5/5 = 1$
결과: 확률 벡터입니다

선택지 E: $(1/3)|3\rangle + (1/4)|4\rangle + (5/12)|5\rangle$

계수 확인:
- $1/3 \geq 0$ (비음)
- $1/4 \geq 0$ (비음)
- $5/12 \geq 0$ (비음)
합: $1/3 + 1/4 + 5/12 = 4/12 + 3/12 + 5/12 = 12/12 = 1$
결과: 확률 벡터입니다

답

결과: 선택지 B, D, E가 확률 벡터입니다.

확률 벡터가 되려면 모든 계수가 비음이어야 하고, 계수들의 합이 1이어야 합니다. A는 음수 계수가 있고, C는 합이 1이 아닙니다.

문제 14: 다중 시스템 관련 개념

필요한 기반 지식

1. 얽힘 상태의 중첩

얽힘 상태들의 중첩이 항상 얽힘 상태를 만드는 것은 아닙니다
예: $|\phi^+\rangle$ 와 $|\phi^-\rangle$ 의 중첩은 $|00\rangle$ 이 될 수 있으며, 이는 product state입니다

2. 카르테시안 곱 vs 텐서 곱

복합 시스템의 고전 상태 집합은 **카르테시안 곱(Cartesian product)**입니다
텐서 곱은 벡터나 행렬에 대한 연산이며, 집합에 대해서는 카르테시안 곱을 사용합니다

3. 복제 불가 정리 (No-cloning Theorem)

알려지지 않은 양자 상태를 복제하는 연산은 비선형입니다
$|\psi\rangle \mapsto |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$ 연산은 선형이 아닙니다
복제 연산은 유니터리 연산으로 표현될 수 없습니다

4. 유클리드 노름의 곱셈성

텐서 곱 벡터의 유클리드 노름은 각 벡터의 노름의 곱과 같습니다: $\||\phi\rangle \otimes |\psi\rangle\| = \||\phi\rangle\| \cdot \||\psi\rangle\|$

5. Bell 상태의 기저 성질

네 가지 Bell 상태는 두 qubit 공간의 정규 직교 기저를 형성합니다
Bell basis는 완전한 기저입니다

6. 텐서 곱과 독립 연산

두 유니터리 행렬의 텐서 곱 $U \otimes V$ 는 두 시스템에 독립적으로 연산을 적용하는 것을 나타냅니다
이는 독립 연산(independent operations)을 의미합니다

7. 측정과 얽힘

얽힌 시스템에서 한 qubit을 측정하면, 측정 후 상태는 product state가 될 수 있습니다
예: $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ 에서 첫 번째 qubit을 측정하면 $|00\rangle$ 또는 $|11\rangle$ 이 되며, 이는 product state입니다

사실 여부 확인

가정 A: "Taking a superposition of entangled states always produces an entangled state."

거짓: 얽힘 상태들의 중첩이 항상 얽힘 상태를 만드는 것은 아닙니다
반례: $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ 와 $|\phi^-\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle - |11\rangle)$ 의 합: $|\phi^+\rangle + |\phi^-\rangle = \sqrt{2}|00\rangle$ 이것은 product state $|0\rangle \otimes |0\rangle$ 입니다

가정 B: "The classical state set of a compound system is the tensor product of the classical state sets of the individual systems."

거짓: 복합 시스템의 고전 상태 집합은 **카르테시안 곱(Cartesian product)**입니다
텐서 곱은 벡터나 행렬에 대한 연산이며, 집합에 대해서는 카르테시안 곱 $\Sigma \times \Gamma$ 를 사용합니다

가정 C: "The operation that transforms every qubit quantum state vector $|\psi\rangle$ into the state vector $|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$ is a linear operation."

거짓: 이것은 복제(cloning) 연산으로, 비선형입니다
No-cloning theorem에 의해 알려지지 않은 양자 상태를 복제하는 것은 불가능하며, 복제 연산은 선형이 아닙니다
예: $|0\rangle + |1\rangle$ 를 복제하면 $(|0\rangle + |1\rangle) \otimes (|0\rangle + |1\rangle) = |00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle$ 이지만, 선형 연산이라면 $|0\rangle \otimes |0\rangle + |1\rangle \otimes |1\rangle$ 가 되어야 합니다

가정 D: "The Euclidean norm of the tensor product of two vectors is equal to the product of the Euclidean norms of the two vectors."

참: 텐서 곱 벡터의 유클리드 노름은 각 벡터의 노름의 곱과 같습니다: $\||\phi\rangle \otimes |\psi\rangle\| = \||\phi\rangle\| \cdot \||\psi\rangle\|$
이것은 텐서 곱의 중요한 성질입니다

가정 E: "The Bell states form an orthonormal basis for the space corresponding to two qubits."

참: 네 가지 Bell 상태는 두 qubit 공간의 정규 직교 기저를 형성합니다
Bell basis: $\{|\phi^+\rangle, |\phi^-\rangle, |\psi^+\rangle, |\psi^-\rangle\}$
각 Bell 상태는 정규화되어 있고, 서로 직교합니다

가정 F: "The tensor product of two unitary matrices represents the independent application of the two operations to two parts of a compound system."

참: $U \otimes V$ 는 두 시스템에 독립적으로 연산을 적용하는 것을 나타냅니다
첫 번째 시스템에 $U$ 를, 두 번째 시스템에 $V$ 를 독립적으로 적용합니다
이것은 독립 연산(independent operations)의 정의입니다

가정 G: "Entangled systems remain entangled when one of the systems is measured."

거짓: 얽힌 시스템에서 한 qubit을 측정하면, 측정 후 상태는 product state가 될 수 있습니다
예: $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ $∣ ϕ^{+} ⟩ = \frac{1}{2} (∣00 ⟩ + ∣11 ⟩)$ 에서 첫 번째 qubit을 측정하면:
- 결과 0: $|00\rangle$ (product state)
- 결과 1: $|11\rangle$ (product state)
측정 후에는 얽힘이 사라집니다

문제 15: 수학적 객체의 존재성 판단

문제 제시

다음 중 존재하는 수학적 객체를 모두 선택하라.

A. A nonzero vector $|\psi\rangle$ such that $\langle\psi|\psi\rangle = 0$ .
B. A matrix that is both unitary and stochastic, but not a permutation matrix.
C. A matrix that is both unitary and Hermitian, but not the identity matrix.
D. A matrix that is both unitary and Hermitian, but not a permutation matrix.
E. A matrix that is both unitary and Hermitian, but not the identity matrix.

필요한 기반 지식

1. 내적과 노름의 관계

벡터 $|\psi\rangle$ 의 노름(norm)은 내적으로 정의됩니다: $\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$
$\langle\psi|\psi\rangle = 0$ 이면 $\||\psi\rangle\| = 0$ 이므로 $|\psi\rangle = 0$ (영벡터)입니다
따라서 0이 아닌 벡터에 대해 $\langle\psi|\psi\rangle = 0$ 인 경우는 존재하지 않습니다

2. 유니터리 행렬과 확률 행렬의 관계

유니터리 행렬: $U^\dagger U = I$ 를 만족하는 행렬
확률 행렬(Stochastic matrix):
- 모든 항목이 비음: $M_{ij} \geq 0$
- 각 열의 합이 1: $\sum_i M_{ij} = 1$
순열 행렬(Permutation matrix): 각 행과 열에 정확히 하나의 1이 있고 나머지는 0인 행렬
유니터리 행렬이 확률 행렬이려면, 각 열이 확률 벡터이면서 동시에 정규 직교 기저를 형성해야 합니다
이는 순열 행렬만 가능합니다 (각 열에 정확히 하나의 1이 있고 나머지는 0)

3. 유니터리 행렬과 에르미트 행렬의 관계

에르미트 행렬: $H^\dagger = H$ 를 만족하는 행렬
유니터리 행렬: $U^\dagger U = I$ 를 만족하는 행렬
유니터리이면서 에르미트인 행렬은 $U^\dagger = U$ 이고 $U^\dagger U = I$ 이므로 $U^2 = I$ 를 만족합니다
예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 는 유니터리이면서 에르미트이며, 단위 행렬이 아닙니다

4. 사영 행렬(Projection Matrix)의 정의

사영 행렬: $P^2 = P$ 와 $P^\dagger = P$ 를 만족하는 행렬
사영 행렬의 고유값은 0 또는 1만 가질 수 있습니다
유니터리 사영 행렬: $P^2 = P$ 와 $P^\dagger P = I$ 를 동시에 만족하는 행렬
$P^2 = P$ 와 $P^\dagger P = I$ 를 동시에 만족하면 $P = I$ (단위 행렬)뿐입니다
따라서 유니터리 사영 행렬은 단위 행렬뿐입니다

5. 에르미트 행렬과 사영 행렬의 관계

모든 사영 행렬은 에르미트입니다 ( $P^\dagger = P$ )
하지만 모든 에르미트 행렬이 사영 행렬인 것은 아닙니다
예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ 는 에르미트이지만 $Z^2 = I \neq Z$ 이므로 사영 행렬이 아닙니다

6. 유니터리 연산의 선형성

유니터리 연산은 선형 연산입니다
모든 양자 상태 벡터를 같은 상태로 매핑하는 연산은 선형이 아닙니다
예: $U|\psi\rangle = |00\rangle$ $U ∣ ψ ⟩ = ∣00 ⟩$ (모든 $|\psi\rangle$ $∣ ψ ⟩$ 에 대해)는 선형이 아닙니다
- $U(|0\rangle + |1\rangle) = |00\rangle$ 이지만, $U|0\rangle + U|1\rangle = |00\rangle + |00\rangle = 2|00\rangle$ 이므로 선형이 아닙니다

검증 과정

가정 A: "A nonzero vector $|\psi\rangle$ such that $\langle\psi|\psi\rangle = 0$ ."

존재하지 않음
$\langle\psi|\psi\rangle = 0$ 이면 $\||\psi\rangle\|^2 = 0$ 이므로 $\||\psi\rangle\| = 0$ 입니다
노름이 0인 벡터는 영벡터뿐입니다
따라서 0이 아닌 벡터에 대해 $\langle\psi|\psi\rangle = 0$ 인 경우는 존재하지 않습니다

가정 B: "A matrix that is both unitary and stochastic, but not a permutation matrix."

존재하지 않음
유니터리 행렬이 확률 행렬이려면, 각 열이 확률 벡터이면서 동시에 정규 직교 기저를 형성해야 합니다
각 열에 정확히 하나의 1이 있고 나머지는 0인 경우만 가능합니다
이것은 순열 행렬의 정의입니다
따라서 유니터리이면서 확률 행렬인 행렬은 순열 행렬뿐입니다

가정 C: "A matrix that is both unitary and Hermitian, but not the identity matrix."

존재함
예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ $Z = (10 0 - 1)$
- $Z^\dagger = Z$ (에르미트)
- $Z^\dagger Z = Z^2 = I$ (유니터리)
- $Z \neq I$ (단위 행렬이 아님)
다른 예: Pauli-X, Pauli-Y 행렬도 유니터리이면서 에르미트입니다

가정 D: "A unitary projection matrix."

존재하지 않음 (단위 행렬 제외)
사영 행렬은 $P^2 = P$ 를 만족합니다
유니터리 행렬은 $P^\dagger P = I$ 를 만족합니다
$P^2 = P$ $P^{2} = P$ 와 $P^\dagger P = I$ $P^{†} P = I$ 를 동시에 만족하면:
$P = P^2 = P \cdot P = P \cdot (P^\dagger P) = (PP^\dagger) P = I \cdot P = P$
더 정확히는, $P^2 = P$ $P^{2} = P$ 와 $P^\dagger P = I$ $P^{†} P = I$ 에서 $P = P^\dagger$ $P = P^{†}$ 이므로 $P^2 = I$ $P^{2} = I$ 입니다
- $P^2 = P$ 와 $P^2 = I$ 를 동시에 만족하면 $P = I$ 뿐입니다
따라서 유니터리 사영 행렬은 단위 행렬뿐입니다

가정 E: "A matrix that is both unitary and Hermitian, but not the identity matrix."

주의: 문제에서 선택지 C와 E가 동일한 텍스트를 가지고 있습니다. 이것은 문제의 오류일 수도 있지만, 실제로는 다른 의미일 수도 있습니다.

가능한 해석 1: E가 C와 동일하다면, C와 마찬가지로 존재함입니다.

예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ $Z = (10 0 - 1)$
- $Z^\dagger = Z$ (에르미트)
- $Z^\dagger Z = Z^2 = I$ (유니터리)
- $Z \neq I$ (단위 행렬이 아님)

가능한 해석 2: E가 "A Hermitian matrix that is not a projection matrix."를 의미한다면, 존재함입니다.

예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ $Z = (10 0 - 1)$
- $Z^\dagger = Z$ (에르미트)
- $Z^2 = I \neq Z$ (사영 행렬이 아님)
다른 예: 모든 대각 행렬이 에르미트이지만, 고유값이 0 또는 1이 아닌 경우 사영 행렬이 아닙니다

현재 해석: 문제의 텍스트를 그대로 따르면, E는 C와 동일하므로 존재함입니다.

가정 F: "A 2 qubit unitary operation $U$ such that $U|\psi\rangle = |00\rangle$ for all 2-qubit quantum state vectors $|\psi\rangle$ ."

존재하지 않음
모든 양자 상태 벡터를 같은 상태 $|00\rangle$ 으로 매핑하는 연산은 선형이 아닙니다
유니터리 연산은 선형 연산이어야 합니다
반례: $U(|0\rangle + |1\rangle) = |00\rangle$ 이지만, $U|0\rangle + U|1\rangle = |00\rangle + |00\rangle = 2|00\rangle$ 이므로 선형이 아닙니다
따라서 모든 상태를 같은 상태로 매핑하는 유니터리 연산은 존재하지 않습니다

정리

A: 내적이 0인 0이 아닌 벡터는 존재하지 않습니다 (노름이 0이면 영벡터뿐)
B: 유니터리이면서 확률 행렬인 행렬은 순열 행렬뿐입니다
C: 유니터리이면서 에르미트이지만 단위 행렬이 아닌 행렬 (예: Pauli-Z) - 존재함
D: 유니터리 사영 행렬은 단위 행렬뿐입니다 (단위 행렬 제외하면 존재하지 않음)
E: 문제에서 C와 동일한 텍스트이지만, "사영 행렬이 아닌 에르미트 행렬"로 해석하면 존재함 (예: Pauli-Z) - 존재함
F: 모든 상태를 같은 상태로 매핑하는 유니터리 연산은 선형이 아니므로 존재하지 않습니다

답

결과: 선택지 C, E가 존재하는 수학적 객체입니다.

C: 유니터리이면서 에르미트이지만 단위 행렬이 아닌 행렬 (예: Pauli-Z 행렬 $Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$ )
E: 문제의 텍스트가 C와 동일하지만, "사영 행렬이 아닌 에르미트 행렬"로 해석하면 존재함 (예: Pauli-Z 행렬)

다른 선택지들은 존재하지 않습니다:

A: 내적이 0인 0이 아닌 벡터는 존재하지 않습니다 (노름이 0이면 영벡터뿐)
B: 유니터리이면서 확률 행렬인 행렬은 순열 행렬뿐입니다
D: 유니터리 사영 행렬은 단위 행렬뿐입니다 (단위 행렬 제외하면 존재하지 않음)
F: 모든 상태를 같은 상태로 매핑하는 유니터리 연산은 선형이 아니므로 존재하지 않습니다

문제 16: e-bit의 특성 이해

문제 제시

"Entanglement in Action" 강의에서 다룬 프로토콜의 맥락에서 e-bit을 정확히 설명하는 문장을 모두 선택하라.

필요한 기반 지식

1. e-bit (Entanglement Bit)의 정의

e-bit: 얽힘(entanglement)의 한 단위를 나타내는 리소스
물리적 표현: Bell 상태 $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$ 가 1 e-bit을 나타냅니다
e-bit은 두 qubit의 물리적 상태이지만, 얽힘의 양은 1 e-bit입니다

2. e-bit의 공유

Alice와 Bob이 e-bit을 공유한다는 것은:
- Alice가 qubit A를 가지고 있음
- Bob이 qubit B를 가지고 있음
- 함께 쌍 $(A, B)$ 가 상태 $|\phi^+\rangle$ 에 있음
e-bit은 두 당사자(Alice와 Bob) 사이에 공유되는 리소스입니다

3. e-bit의 생성

e-bit은 생성할 수 있습니다
예: Hadamard 게이트와 CNOT 게이트를 사용하여 Bell 상태를 준비: $|00\rangle \xrightarrow{H \otimes I} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)|0\rangle \xrightarrow{CNOT} \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle) = |\phi^+\rangle$
따라서 e-bit은 생성 가능하며, 프로토콜에서 소비됩니다

4. e-bit의 소비 (Expenditure)

e-bit은 양자 프로토콜에서 리소스로 사용됩니다
양자 텔레포테이션: 1 e-bit과 2 비트의 고전 통신을 사용하여 1 qubit을 전송
초밀도 코딩: 1 e-bit과 1 qubit의 양자 통신을 사용하여 2 비트의 고전 정보를 전송
프로토콜이 완료되면 e-bit은 소비되어 더 이상 사용할 수 없습니다

5. e-bit과 qubit의 차이

e-bit은 단일 qubit이 아닙니다
e-bit은 두 qubit의 얽힘 상태입니다
e-bit은 특정 Bell 상태 $|\phi^+\rangle$ 를 나타냅니다

6. e-bit과 즉각적인 qubit 전송

e-bit 자체가 qubit을 즉시 전송하는 것은 아닙니다
e-bit은 프로토콜에서 리소스로 사용되지만, qubit 전송을 위해서는 추가적인 연산과 고전 통신이 필요합니다
예: 양자 텔레포테이션에서 e-bit과 고전 통신을 함께 사용하여 qubit을 전송합니다

사실 여부 확인

각 선택지를 확인합니다:

가정 A: "An e-bit cannot be created, only destroyed."

거짓: e-bit은 생성할 수 있습니다
Hadamard 게이트와 CNOT 게이트를 사용하여 Bell 상태 $|\phi^+\rangle$ 를 준비할 수 있습니다: $|00\rangle \xrightarrow{H \otimes I} \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)|0\rangle \xrightarrow{CNOT} |\phi^+\rangle$
프로토콜에서 e-bit을 소비하지만, 이는 생성된 후 사용되는 것입니다

가정 B: "It is shared between two parties."

참: e-bit은 두 당사자(Alice와 Bob) 사이에 공유됩니다
Alice가 qubit A를 가지고 있고, Bob이 qubit B를 가지고 있으며, 함께 쌍 $(A, B)$ 가 상태 $|\phi^+\rangle$ 에 있습니다
양자 텔레포테이션, 초밀도 코딩, CHSH 게임 등 모든 프로토콜에서 e-bit은 Alice와 Bob 사이에 공유됩니다

가정 C: "It is a qubit in a special state."

거짓: e-bit은 단일 qubit이 아닙니다
e-bit은 두 qubit의 얽힘 상태입니다
구체적으로, Bell 상태 $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$ 가 1 e-bit을 나타냅니다
따라서 e-bit은 두 qubit 시스템의 상태입니다

가정 D: "It is a resource that is expended during the protocols."

참: e-bit은 프로토콜에서 소비되는 리소스입니다
양자 텔레포테이션: 1 e-bit과 2 비트의 고전 통신을 사용하여 1 qubit을 전송 (e-bit 소비)
초밀도 코딩: 1 e-bit과 1 qubit의 양자 통신을 사용하여 2 비트의 고전 정보를 전송 (e-bit 소비)
프로토콜이 완료되면 e-bit은 소비되어 더 이상 사용할 수 없습니다

가정 E: "It allows for the immediate transfer of qubits."

거짓: e-bit 자체가 qubit을 즉시 전송하는 것은 아닙니다
e-bit은 프로토콜에서 리소스로 사용되지만, qubit 전송을 위해서는 추가적인 연산과 고전 통신이 필요합니다
예: 양자 텔레포테이션에서 e-bit과 함께 측정과 고전 통신이 필요합니다
e-bit만으로는 qubit을 전송할 수 없습니다

가정 F: "It is a particular Bell state."

참: e-bit은 특정 Bell 상태 $|\phi^+\rangle$ 를 나타냅니다
정의에 따르면, Bell 상태 $|\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$ 가 1 e-bit을 나타냅니다
다른 Bell 상태들( $|\phi^-\rangle$ , $|\psi^+\rangle$ , $|\psi^-\rangle$ )도 유니터리 변환을 통해 $|\phi^+\rangle$ 로 변환할 수 있지만, 표준적으로 e-bit은 $|\phi^+\rangle$ 를 의미합니다

답

결과: 가정 B, D, F가 참입니다.

B: e-bit은 두 당사자(Alice와 Bob) 사이에 공유됩니다
D: e-bit은 프로토콜에서 소비되는 리소스입니다
F: e-bit은 특정 Bell 상태 $|\phi^+\rangle$ 를 나타냅니다

다른 가정들은 오류 입니다.:

A: e-bit은 생성할 수 있습니다 (Hadamard + CNOT로 준비 가능)
C: e-bit은 단일 qubit이 아니라 두 qubit의 얽힘 상태입니다
E: e-bit 자체가 qubit을 즉시 전송하는 것은 아니며, 추가 연산과 통신이 필요합니다

문제 17: 확률 행렬 인식

문제 제시

다음은 모두 3 × 3 행렬입니다. 확률 행렬(stochastic matrix)인 것을 모두 선택하라.

선택지 A. $|0\rangle\langle0| + |1\rangle\langle1| - |2\rangle\langle2|$
선택지 B. $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
선택지 C. $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
선택지 D. $\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/4 & 5/12 & 1/3 \\ 5/12 & 1/3 & 1/4 \end{pmatrix}$
선택지 E. $\frac{1}{3}(|0\rangle + |1\rangle + |2\rangle)(\langle0| + \langle1| + \langle2|)$

필요한 기반 지식

1. 확률 행렬(Stochastic Matrix)의 정의

확률 행렬: 다음 두 조건을 만족하는 행렬
1. 모든 항목은 음이 아닌 실수입니다 ( $M_{ij} \geq 0$ )
2. 모든 열의 항목들의 합은 1입니다 ( $\sum_i M_{ij} = 1$ )
확률 벡터를 확률 벡터로 매핑합니다
각 열은 확률 벡터를 나타냅니다

2. Dirac 표기법과 행렬 표현

$|i\rangle\langle j|$ 는 $(i,j)$ 위치에 1이고 나머지는 0인 행렬을 나타냅니다
$|i\rangle\langle i|$ 는 대각 행렬로, $i$ 번째 대각 원소가 1입니다
$\frac{1}{3}(|0\rangle + |1\rangle + |2\rangle)(\langle0| + \langle1| + \langle2|)$ 는 모든 원소가 $\frac{1}{3}$ 인 행렬입니다

3. 순열 행렬(Permutation Matrix)

각 행과 열에 정확히 하나의 1이 있고 나머지는 0인 행렬
순열 행렬은 확률 행렬의 특수한 경우입니다

검증 과정

각 선택지를 확인합니다:

선택지 A: $|0\rangle\langle0| + |1\rangle\langle1| - |2\rangle\langle2|$

이것은 대각 행렬입니다: $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$
비음 조건 확인: 세 번째 대각 원소가 $-1$ 이므로 음수입니다
따라서 확률 행렬이 아닙니다

선택지 B: $\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

비음 조건 확인: 모든 항목이 0 또는 1이므로 비음입니다 ✓
열의 합 확인:
- 첫 번째 열: $0 + 0 + 1 = 1$ ✓
- 두 번째 열: $1 + 0 + 0 = 1$ ✓
- 세 번째 열: $0 + 1 + 0 = 1$ ✓
따라서 확률 행렬입니다

선택지 C: $\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

비음 조건 확인: 모든 항목이 0 또는 1이므로 비음입니다 ✓
열의 합 확인:
- 첫 번째 열: $1 + 0 + 0 = 1$ ✓
- 두 번째 열: $1 + 0 + 0 = 1$ ✓
- 세 번째 열: $0 + 1 + 0 = 1$ ✓
따라서 확률 행렬입니다

선택지 D: $\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/4 & 5/12 & 1/3 \\ 5/12 & 1/3 & 1/4 \end{pmatrix}$

비음 조건 확인: 모든 항목이 양수이므로 비음입니다 ✓
열의 합 확인:
- 첫 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{5}{12} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{12}{12} = 1$ ✓
- 두 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{5}{12} + \frac{1}{3} = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} + \frac{4}{12} = \frac{13}{12} \neq 1$ ✗
- 세 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12} \neq 1$ ✗
두 번째와 세 번째 열의 합이 1이 아니므로 확률 행렬이 아닙니다

선택지 E: $\frac{1}{3}(|0\rangle + |1\rangle + |2\rangle)(\langle0| + \langle1| + \langle2|)$

이것은 모든 원소가 $\frac{1}{3}$ 인 행렬입니다: $\begin{pmatrix} 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \\ 1/3 & 1/3 & 1/3 \end{pmatrix}$
비음 조건 확인: 모든 항목이 $\frac{1}{3}$ 이므로 비음입니다 ✓
열의 합 확인:
- 첫 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓
- 두 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓
- 세 번째 열: $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$ ✓
따라서 확률 행렬입니다

답

결과: 선택지 B, C, E가 확률 행렬입니다.

B: 순열 행렬로, 모든 열의 합이 1이고 모든 항목이 비음입니다
C: 모든 열의 합이 1이고 모든 항목이 비음입니다
E: 균등 행렬로, 모든 원소가 $\frac{1}{3}$ 이고 모든 열의 합이 1입니다

다른 선택지들은 확률 행렬이 아닙니다:

A: 세 번째 대각 원소가 $-1$ 이므로 음수입니다
D: 두 번째와 세 번째 열의 합이 1이 아닙니다

문제 18: 양자 상태 벡터 인식

문제 제시

고전 상태 집합이 $\Sigma = \{\#, b, \natural\}$ 인 시스템을 고려하자. 다음 중 양자 상태 벡터인 것을 모두 선택하라.

선택지 A. $\frac{i-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}|\natural\rangle - \frac{1-i}{\sqrt{12}}|b\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\#\rangle$
선택지 B. $\frac{1}{2}(\sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle)$
선택지 C. $\frac{i}{\sqrt{3}}|\natural\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\#\rangle - \frac{1}{\sqrt{6}}|b\rangle$
선택지 D. $\frac{\sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle}{\sqrt{6}-\sqrt{2}+2i}$
선택지 E. $\frac{1}{3}(|\natural\rangle + |b\rangle + |\#\rangle)(\langle\natural| + \langle b| + \langle\#|)$

필요한 기반 지식

1. 양자 상태 벡터의 정의

양자 상태 벡터는 고전 상태 집합 $\Sigma$ 의 원소들의 선형 결합으로 표현됩니다: $|\psi\rangle = \sum_{a \in \Sigma} \alpha_a |a\rangle$
여기서 $\alpha_a$ 는 복소수 계수입니다

2. 정규화 조건 (Normalization Condition)

양자 상태 벡터가 유효하려면 정규화되어야 합니다
정규화 조건: 계수들의 절댓값 제곱의 합이 1이어야 합니다: $\sum_{a \in \Sigma} |\alpha_a|^2 = 1$
이것은 벡터의 유클리드 노름이 1이라는 것과 동일합니다: $\||\psi\rangle\| = \sqrt{\sum_{a \in \Sigma} |\alpha_a|^2} = 1$

3. 복소수의 절댓값 제곱

복소수 $z = a + bi$ 의 절댓값 제곱은: $|z|^2 = a^2 + b^2$
예: $|i|^2 = 1$ , $|1+i|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$ , $|2i|^2 = 2^2 = 4$

4. 정규화된 벡터의 스케일링

벡터 $|\phi\rangle$ 의 노름 제곱이 $N$ 이면, $\frac{1}{\sqrt{N}}|\phi\rangle$ 는 정규화된 벡터입니다
벡터 $|\phi\rangle$ 의 노름 제곱이 $N$ 이고 스케일링 인자가 $c$ 이면, $c|\phi\rangle$ 의 노름 제곱은 $|c|^2 N$ 입니다

검증 과정

각 선택지를 확인합니다:

선택지 A: $\frac{i-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}|\natural\rangle - \frac{1-i}{\sqrt{12}}|b\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\#\rangle$

계수들의 절댓값 제곱을 계산합니다: $\begin{aligned} |c_1|^2 &= \left|\frac{i-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right|^2 = \frac{(-\sqrt{3})^2 + 1^2}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{3+1}{12} = \frac{1}{3} \\ |c_2|^2 &= \left|-\frac{1-i}{\sqrt{12}}\right|^2 = \frac{1^2 + (-1)^2}{(\sqrt{12})^2} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6} \\ |c_3|^2 &= \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2} \end{aligned}$
합: $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2+1+3}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✓
따라서 양자 상태 벡터입니다

선택지 B: $\frac{1}{2}(\sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle)$

내부 벡터 $|\phi\rangle = \sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle$ 의 노름 제곱: $\||\phi\rangle\|^2 = (\sqrt{6})^2 + (-\sqrt{2})^2 + |2i|^2 = 6 + 2 + 4 = 12$
주어진 벡터는 $\frac{1}{2}|\phi\rangle$ 이므로 노름 제곱: $\left\|\frac{1}{2}|\phi\rangle\right\|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 12 = \frac{1}{4} \cdot 12 = 3 \neq 1$
따라서 양자 상태 벡터가 아닙니다

선택지 C: $\frac{i}{\sqrt{3}}|\natural\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\#\rangle - \frac{1}{\sqrt{6}}|b\rangle$

계수들의 절댓값 제곱을 계산합니다: $\begin{aligned} |c_1|^2 &= \left|\frac{i}{\sqrt{3}}\right|^2 = \frac{1}{3} \\ |c_2|^2 &= \left|\frac{1}{\sqrt{2}}\right|^2 = \frac{1}{2} \\ |c_3|^2 &= \left|-\frac{1}{\sqrt{6}}\right|^2 = \frac{1}{6} \end{aligned}$
합: $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2+3+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$ ✓
따라서 양자 상태 벡터입니다

선택지 D: $\frac{\sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle}{\sqrt{6}-\sqrt{2}+2i}$

분자 $|\phi\rangle = \sqrt{6}|\#\rangle - \sqrt{2}|b\rangle + 2i|\natural\rangle$ 의 노름 제곱은 12입니다
분모는 복소수 $\sqrt{6}-\sqrt{2}+2i$ 입니다
정규화를 위해서는 분모가 분자의 노름(실수, 양수)이어야 합니다
분모의 절댓값: $|\sqrt{6}-\sqrt{2}+2i| = \sqrt{(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2 + 2^2} = \sqrt{6 - 2\sqrt{12} + 2 + 4} = \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}$
$\sqrt{12} \neq \sqrt{12 - 4\sqrt{3}}$ 이므로 정규화되지 않았습니다
따라서 양자 상태 벡터가 아닙니다

선택지 E: $\frac{1}{2}(\sqrt{2}|\natural\rangle - \sqrt{\frac{2}{3}}|\#\rangle + \frac{2i}{\sqrt{3}}|b\rangle)$

내부 벡터 $|\phi\rangle = \sqrt{2}|\natural\rangle - \sqrt{\frac{2}{3}}|\#\rangle + \frac{2i}{\sqrt{3}}|b\rangle$ 의 노름 제곱: $\begin{aligned} \||\phi\rangle\|^2 &= (\sqrt{2})^2 + \left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^2 + \left|\frac{2i}{\sqrt{3}}\right|^2 \\ &= 2 + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 + \frac{6}{3} = 2 + 2 = 4 \end{aligned}$
주어진 벡터는 $\frac{1}{2}|\phi\rangle$ 이므로 노름 제곱: $\left\|\frac{1}{2}|\phi\rangle\right\|^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot 4 = \frac{1}{4} \cdot 4 = 1$
따라서 양자 상태 벡터입니다

답

결과: 선택지 A, C, E가 양자 상태 벡터입니다.

A: 계수들의 절댓값 제곱의 합이 1입니다 ( $\frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = 1$ )
C: 계수들의 절댓값 제곱의 합이 1입니다 ( $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = 1$ )
E: 내부 벡터의 노름 제곱이 4이고, $\frac{1}{2}$ 로 스케일링하면 노름 제곱이 1이 됩니다

다른 선택지들은 양자 상태 벡터가 아닙니다:

B: 내부 벡터의 노름 제곱이 12이고, $\frac{1}{2}$ 로 스케일링하면 노름 제곱이 3이 됩니다
D: 분모가 복소수이며, 분자의 노름과 일치하지 않습니다

문제 19: 수학적 성질 이해

필요한 기반 지식

1. 유니터리 연산의 합성

유니터리 연산의 합성은 행렬 곱셈으로 표현됩니다
두 유니터리 행렬 $U$ 와 $V$ 의 곱 $UV$ 도 유니터리입니다: $(UV)^\dagger(UV) = V^\dagger U^\dagger UV = V^\dagger V = I$
양자 회로에서 여러 게이트를 순차적으로 적용하는 것은 행렬 곱셈에 해당합니다

2. 유니터리 행렬의 합

두 유니터리 행렬의 합은 일반적으로 유니터리가 아닙니다
예: $I + I = 2I$ 는 유니터리가 아닙니다 ( $(2I)^\dagger(2I) = 4I \neq I$ )
유니터리 행렬의 합은 유니터리 조건을 만족하지 않습니다

3. 확률 행렬의 가역성

모든 확률 행렬이 가역인 것은 아닙니다
예: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 는 확률 행렬이지만 가역이 아닙니다 (행렬식이 0)
확률 행렬은 모든 열의 합이 1이지만, 이는 가역성을 보장하지 않습니다

4. 양자 상태 측정의 확률

표준 기저 측정에서 고전 상태 $a$ 를 얻을 확률은: $\text{Pr}(a) = |\langle a | \psi \rangle|^2$
이것은 양자 상태 벡터의 해당 계수의 절댓값 제곱입니다
절댓값의 제곱근이 아닙니다

5. 확률 행렬의 특성

확률 행렬은 모든 열이 확률 벡터를 형성하는 행렬입니다
모든 표준 기저 벡터를 확률 벡터로 변환하는 행렬은 확률 행렬입니다
확률 벡터를 항상 확률 벡터로 매핑하는 행렬은 확률 행렬입니다

6. 유니터리 행렬의 가역성

모든 유니터리 행렬은 가역입니다
유니터리 행렬 $U$ 에 대해 $U^\dagger U = I$ 이므로, $U^{-1} = U^\dagger$ 입니다
따라서 모든 유니터리 행렬은 역행렬을 가집니다

7. 양자 상태 벡터와 확률 벡터의 교집합

양자 상태 벡터: 계수들의 절댓값 제곱의 합이 1인 벡터
확률 벡터: 모든 계수가 비음이고 합이 1인 벡터
양자 상태 벡터이면서 확률 벡터인 벡터는 표준 기저 벡터뿐입니다
예: $\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$ 는 양자 상태 벡터이지만 확률 벡터가 아닙니다 (계수가 복소수일 수 있음)

8. 유니터리 행렬의 특성

모든 표준 기저 벡터를 양자 상태 벡터로 변환하는 행렬은 유니터리 행렬입니다
표준 기저 벡터는 정규 직교 기저를 형성하므로, 이를 양자 상태 벡터(노름 1)로 변환하는 행렬은 정규 직교 기저를 정규 직교 기저로 보존합니다
이것은 유니터리 행렬의 정의입니다

사실 여부 확인

가정 A: "Composition of unitary operations is represented by matrix multiplication."

참: 유니터리 연산의 합성은 행렬 곱셈으로 표현됩니다
두 유니터리 행렬 $U$ 와 $V$ 의 곱 $UV$ 도 유니터리입니다
양자 회로에서 여러 게이트를 순차적으로 적용하는 것은 행렬 곱셈에 해당합니다

가정 B: "The sum of two unitary matrices is also unitary."

거짓: 두 유니터리 행렬의 합은 일반적으로 유니터리가 아닙니다
반례: $I + I = 2I$ 는 유니터리가 아닙니다 ( $(2I)^\dagger(2I) = 4I \neq I$ )
유니터리 행렬의 합은 유니터리 조건을 만족하지 않습니다

가정 C: "Every stochastic matrix is invertible."

거짓: 모든 확률 행렬이 가역인 것은 아닙니다
반례: $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$ 는 확률 행렬이지만 가역이 아닙니다 (행렬식이 0)
확률 행렬은 모든 열의 합이 1이지만, 이는 가역성을 보장하지 않습니다

가정 D: "When a standard basis measurement is performed on a quantum state, the probability for each classical state outcome to appear is given by the absolute value of the square root of the corresponding entry of the quantum state vector."

거짓: 확률은 계수의 절댓값 제곱 $|\alpha|^2$ 입니다
절댓값의 제곱근이 아닙니다
올바른 공식: $\text{Pr}(a) = |\langle a | \psi \rangle|^2$

가정 E: "If a square matrix transforms every standard basis vector into a probability vector, then it must be stochastic."

참: 모든 표준 기저 벡터를 확률 벡터로 변환하는 행렬은 확률 행렬입니다
확률 행렬의 정의는 모든 열이 확률 벡터를 형성하는 행렬입니다
표준 기저 벡터는 각 열에 해당하므로, 이를 확률 벡터로 변환하는 행렬은 확률 행렬입니다

가정 F: "Every unitary matrix is invertible."

참: 모든 유니터리 행렬은 가역입니다
유니터리 행렬 $U$ 에 대해 $U^\dagger U = I$ 이므로, $U^{-1} = U^\dagger$ 입니다
따라서 모든 유니터리 행렬은 역행렬을 가집니다

가정 G: "Every vector that is both a quantum state vector and a probability vector must be a standard basis vector."

참: 양자 상태 벡터이면서 확률 벡터인 벡터는 표준 기저 벡터뿐입니다
양자 상태 벡터: 계수들의 절댓값 제곱의 합이 1
확률 벡터: 모든 계수가 비음이고 합이 1
두 조건을 동시에 만족하려면, 하나의 계수만 1이고 나머지는 0이어야 합니다
이것은 표준 기저 벡터의 정의입니다

가정 H: "If a square matrix transforms every standard basis vector into a quantum state vector, then it must be unitary."

참: 모든 표준 기저 벡터를 양자 상태 벡터(노름 1)로 변환하는 행렬은 유니터리 행렬입니다
표준 기저 벡터는 정규 직교 기저를 형성하므로, 이를 양자 상태 벡터(노름 1)로 변환하는 행렬은 정규 직교 기저를 정규 직교 기저로 보존합니다
이것은 유니터리 행렬의 정의입니다 ( $U^\dagger U = I$ )

답

결과: 가정 A, E, F, G, H가 참입니다.

A: 유니터리 연산의 합성은 행렬 곱셈으로 표현됩니다
E: 모든 표준 기저 벡터를 확률 벡터로 변환하는 행렬은 확률 행렬입니다
F: 모든 유니터리 행렬은 가역입니다 ( $U^{-1} = U^\dagger$ )
G: 양자 상태 벡터이면서 확률 벡터인 벡터는 표준 기저 벡터뿐입니다
H: 모든 표준 기저 벡터를 양자 상태 벡터로 변환하는 행렬은 유니터리 행렬입니다

다른 가정들은 거짓입니다:

B: 두 유니터리 행렬의 합은 일반적으로 유니터리가 아닙니다
C: 모든 확률 행렬이 가역인 것은 아닙니다
D: 확률은 계수의 절댓값 제곱이지, 절댓값의 제곱근이 아닙니다

문제 20: 양자 상태 벡터에서 얽힘 인식

문제 제시

다음은 한 쌍의 시스템의 양자 상태 벡터들이다. 각 시스템의 고전 상태 집합은 $\Sigma = \{a, b, c\}$ 이다. 다음 중 얽힌 상태(entangled state)인 것을 모두 선택하라.

선택지 A. $\frac{1}{6}(|ab\rangle + 2|aa\rangle + 2|cb\rangle + |bc\rangle - 2|ba\rangle - 2|cc\rangle - |ac\rangle - |bb\rangle + 4|ca\rangle)$
선택지 B. $\frac{1}{6}(|ab\rangle - 2|aa\rangle + 2|cb\rangle - |bc\rangle - 2|ba\rangle - 2|cc\rangle - |ac\rangle - |bb\rangle + 4|ca\rangle)$
선택지 C. $\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle|b\rangle + |c\rangle|b\rangle)$
선택지 D. $\frac{1}{\sqrt{33}}|aa\rangle - \frac{4}{\sqrt{33}}|ac\rangle + \frac{4}{\sqrt{33}}|ca\rangle$
선택지 E. $\frac{1}{2}(|aa\rangle - |ab\rangle + |ba\rangle + |bb\rangle)$
선택지 F. $\frac{1}{\sqrt{10}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes (|c\rangle - 4|b\rangle)$

필요한 기반 지식

1. Product State (곱 상태)

Product state는 두 시스템의 상태의 텐서 곱으로 표현 가능한 상태입니다: $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle$
여기서 $|\phi\rangle$ 는 첫 번째 시스템의 상태, $|\psi\rangle$ 는 두 번째 시스템의 상태입니다
Product state는 두 시스템이 독립적임을 나타냅니다

2. Entangled State (얽힌 상태)

Entangled state는 product state가 아닌 상태입니다
즉, $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle$ 형태로 표현할 수 없는 상태입니다
얽힌 상태는 두 시스템 간의 상관관계를 나타냅니다

3. Product State 판별 방법

상태 $|\Psi\rangle = \sum_{i,j} c_{ij}|ij\rangle$ $∣Ψ ⟩ = \sum_{i, j} c_{ij} ∣ ij ⟩$ 가 product state인지 확인하려면:
- $|\phi\rangle = \sum_i \alpha_i|i\rangle$ 와 $|\psi\rangle = \sum_j \beta_j|j\rangle$ 가 존재하여
- $c_{ij} = \alpha_i \beta_j$ 를 만족하는지 확인합니다
또는 행렬 $C = (c_{ij})$ 의 rank가 1인지 확인합니다 (rank 1이면 product state)

4. 텐서 곱의 분리

상태가 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes |b\rangle$ 형태로 명시적으로 표현되어 있으면 product state입니다
공통 인수를 분리할 수 있으면 product state일 가능성이 높습니다

검증 과정

각 선택지를 확인합니다:

선택지 A: $\frac{1}{6}(|ab\rangle + 2|aa\rangle + 2|cb\rangle + |bc\rangle - 2|ba\rangle - 2|cc\rangle - |ac\rangle - |bb\rangle + 4|ca\rangle)$

계수 행렬을 구성합니다: $C = \begin{pmatrix} c_{aa} & c_{ab} & c_{ac} \\ c_{ba} & c_{bb} & c_{bc} \\ c_{ca} & c_{cb} & c_{cc} \end{pmatrix} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & 1 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
이 행렬의 rank를 확인하면 1이 아닙니다 (예: 첫 두 행이 독립적)
따라서 product state로 표현할 수 없으므로 얽힌 상태입니다

선택지 B: $\frac{1}{6}(|ab\rangle - 2|aa\rangle + 2|cb\rangle - |bc\rangle - 2|ba\rangle - 2|cc\rangle - |ac\rangle - |bb\rangle + 4|ca\rangle)$

계수 행렬을 구성합니다: $C = \frac{1}{6}\begin{pmatrix} -2 & 1 & -1 \\ -2 & -1 & -1 \\ 4 & 2 & -2 \end{pmatrix}$
이 행렬의 rank를 확인하면 1이 아닙니다
따라서 product state로 표현할 수 없으므로 얽힌 상태입니다

선택지 C: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle|b\rangle + |c\rangle|b\rangle)$

공통 인수 $|b\rangle$ 를 분리할 수 있습니다: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle|b\rangle + |c\rangle|b\rangle) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes |b\rangle$
이것은 product state $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle$ $∣ ϕ ⟩ \otimes ∣ ψ ⟩$ 형태입니다:
- $|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle + |c\rangle)$
- $|\psi\rangle = |b\rangle$
따라서 얽힌 상태가 아닙니다 (product state)

선택지 D: $\frac{1}{\sqrt{33}}|aa\rangle - \frac{4}{\sqrt{33}}|ac\rangle + \frac{4}{\sqrt{33}}|ca\rangle$

계수 행렬을 구성합니다: $C = \frac{1}{\sqrt{33}}\begin{pmatrix} 1 & 0 & -4 \\ 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
이 행렬의 rank를 확인하면 1이 아닙니다 (예: $|aa\rangle$ 와 $|ca\rangle$ 의 계수가 독립적)
따라서 product state로 표현할 수 없으므로 얽힌 상태입니다

선택지 E: $\frac{1}{2}(|aa\rangle - |ab\rangle + |ba\rangle + |bb\rangle)$

계수 행렬을 구성합니다: $C = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$
이 행렬의 rank를 확인하면 1이 아닙니다 (예: 첫 두 행이 독립적)
따라서 product state로 표현할 수 없으므로 얽힌 상태입니다

선택지 F: $\frac{1}{\sqrt{10}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes (|c\rangle - 4|b\rangle)$

이것은 명시적으로 product state 형태로 표현되어 있습니다: $|\phi\rangle \otimes |\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{10}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes (|c\rangle - 4|b\rangle)$
여기서:
- $|\phi\rangle = \frac{1}{\sqrt{10}}(|a\rangle + |c\rangle)$
- $|\psi\rangle = |c\rangle - 4|b\rangle$
따라서 얽힌 상태가 아닙니다 (product state)

답

결과: 선택지 A, B, D, E가 얽힌 상태입니다.

A: 계수 행렬의 rank가 1이 아니므로 product state로 표현할 수 없습니다
B: 계수 행렬의 rank가 1이 아니므로 product state로 표현할 수 없습니다
D: 계수 행렬의 rank가 1이 아니므로 product state로 표현할 수 없습니다
E: 계수 행렬의 rank가 1이 아니므로 product state로 표현할 수 없습니다

다른 선택지들은 얽힌 상태가 아닙니다 (product state):

C: $\frac{1}{\sqrt{2}}(|a\rangle + |c\rangle) \otimes |b\rangle$ 형태로 분리 가능합니다
F: 명시적으로 product state 형태로 표현되어 있습니다