Lesson 1: 단일 시스템 - 양자 정보와 계산 이해하기

양자 정보의 설명

양자 정보를 설명하는 방법에는 두 가지가 있습니다:

단순화된 설명 (이 단원에서 다룸)

• 더 단순하고 일반적으로 먼저 배우는 방법
• 양자 상태는 벡터로 표현되고, 연산은 유니터리 행렬로 표현됨
• 대부분의 양자 알고리즘을 이해하는 데 충분함

일반적인 설명 (나중 단원에서 다룸)

• 더 일반적이고 넓게 적용 가능한 방법
• 양자 상태는 density matrices (밀도 행렬)로 표현됨
• 더 일반적인 측정과 연산 클래스를 허용함
• 단순화된 설명과 고전 정보(확률적 상태 포함)를 특수한 경우로 포함함

고전 정보

정보를 저장하는 물리적 시스템을 $X$라고 하겠습니다. $X$는 각 순간에 유한한 수의 classical state (고전 상태) 중 하나에 있을 수 있다고 가정합니다. 이 classical state set (고전 상태 집합)을 $\Sigma$로 표기합니다.

기호 설명: $\Sigma$ (시그마)

• 의미: 고전 상태 집합(classical state set)을 나타내는 기호
• 발음: "시그마" (Sigma)
• 사용: 그리스 대문자 시그마로, 집합을 나타낼 때 자주 사용됩니다.

예시

• $X$가 비트(bit)라면, 고전 상태 집합은 $\Sigma=\{0,1\}$입니다.
• $X$가 여섯 면 주사위라면, $\Sigma=\{1,2,3,4,5,6\}$입니다.
• $X$가 표준 전기 선풍기의 스위치라면, 아마도 $\Sigma=\{$high, medium, low, off$\}$일 것입니다.

시스템의 고전 상태에 대해 불확실성이 있을 수 있으며, 각 고전 상태에는 일부 확률이 연관됩니다.

Probabilistic state (확률적 상태)

예를 들어, $X$가 비트라면, 아마도 고전 상태 0에 있을 확률이 $3/4$이고 고전 상태 1에 있을 확률이 $1/4$일 수 있습니다. 이것은 $X$의 probabilistic state (확률적 상태)입니다.

$$\operatorname{Pr}(X=0)=\frac{3}{4} \quad \text{그리고} \quad \operatorname{Pr}(X=1)=\frac{1}{4}$$

수식 읽기: $\operatorname{Pr}(X=0)=\frac{3}{4}$

• 읽는 방법: "X가 0일 확률은 4분의 3과 같다" 또는 "Probability of X equals 0 is three-fourths"
• 의미: 시스템 $X$가 고전 상태 0에 있을 확률이 $3/4$임을 나타냅니다.
• $\operatorname{Pr}$는 확률(Probability)을 나타내는 함수입니다.

이 확률적 상태를 간결하게 표현하는 방법은 column vector (열 벡터)를 사용하는 것입니다.

$$\left(\begin{array}{l} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} \end{array}\right) \quad \longleftarrow \text{0에 해당하는 항목}$$

이 벡터는 probability vector (확률 벡터)입니다.

• 모든 항목은 음이 아닌 실수입니다.
• 항목들의 합은 1입니다.

Dirac notation (Dirac 표기법) (첫 번째 부분)

$\Sigma$를 임의의 고전 상태 집합이라고 하고, $\Sigma$의 원소들이 정수 $1, \ldots,|\Sigma|$와 대응 관계에 있다고 가정합니다.

기호 설명: $\in$ (원소 기호)

• 의미: "~의 원소이다" 또는 "~에 속한다"를 나타내는 집합론 기호
• 발음: "~에 속한다" 또는 "element of"
• 사용: $\alpha \in \Sigma$는 "$\alpha$가 집합 $\Sigma$의 원소이다"를 의미합니다.

$\alpha \in \Sigma$에 대해, $\alpha$에 해당하는 항목에 1이 있고 다른 모든 항목에 0이 있는 열 벡터를 $|\alpha\rangle$로 표기합니다.

기호 설명: $|\alpha\rangle$ (Ket 표기법)

• 의미: Dirac 표기법의 "ket" 벡터로, 양자 상태를 나타냅니다
• 발음: "알파 켓" 또는 "ket alpha"
• 사용: 양자 역학에서 상태 벡터를 표현하는 표준 표기법입니다. $|\alpha\rangle$는 열 벡터를 나타냅니다.
• 관련 표기: $\langle\alpha|$는 "bra"로, 행 벡터를 나타냅니다. $\langle\alpha|\beta\rangle$는 내적을 의미합니다.

예시 1

$\Sigma=\{0,1\}$인 경우:

$$|0\rangle=\binom{1}{0} \quad \text{그리고} \quad|1\rangle=\binom{0}{1}$$

예시 2

$\Sigma=\{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\}$인 경우, 다음과 같이 순서를 정할 수 있습니다: $\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit$. 이것은 다음을 제공합니다:

$$|\clubsuit\rangle=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \quad|\diamondsuit\rangle=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \quad|\heartsuit\rangle=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) \quad|\spadesuit\rangle=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$$

이러한 형태의 벡터를 standard basis vectors (표준 기저 벡터)라고 합니다. 모든 벡터는 표준 기저 벡터의 고유한 선형 결합으로 표현될 수 있습니다.

예시

$$\left(\begin{array}{l} \frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} \end{array}\right)=\frac{3}{4}|0\rangle+\frac{1}{4}|1\rangle$$

Probabilistic state (확률적 상태) 측정

시스템 $X$가 어떤 확률적 상태에 있을 때 측정하면 어떻게 될까요?

확률에 따라 무작위로 선택된 고전 상태를 보게 됩니다. 고전 상태 $a \in \Sigma$를 본다고 가정합니다.

이것은 $X$의 확률적 상태를 변경합니다(우리의 관점에서): $X$가 고전 상태 $a$에 있다는 것을 인식했으므로, 이제 다음을 가집니다:

$$\operatorname{Pr}(X=a)=1$$

이 확률적 상태는 벡터 $|a\rangle$로 표현됩니다.

예시

비트 $X$의 확률적 상태를 고려해봅시다:

$$Pr(X = 0) = \frac{3}{4} \quad \text{그리고} \quad Pr(X = 1) = \frac{1}{4}$$

$X$를 측정하면 확률에 따라 전환이 선택(또는 드러남)됩니다.

Deterministic operations (결정론적 연산)

모든 함수 $f: \Sigma \rightarrow \Sigma$는 각 $a \in \Sigma$에 대해 고전 상태 $a$를 $f(a)$로 변환하는 deterministic operations (결정론적 연산)을 설명합니다.

임의의 함수 $f: \Sigma \rightarrow \Sigma$가 주어지면, 다음을 만족하는 (유일한) 행렬 $M$이 있습니다:

$$M|a\rangle=|f(a)\rangle \quad \text{(모든 } a \in \Sigma \text{에 대해)}$$

이 행렬은 각 열에 정확히 하나의 1이 있고 다른 모든 항목은 0입니다:

$$M(b, a)= \begin{cases}1 & b=f(a) \\ 0 & b \neq f(a)\end{cases}$$

이 연산의 동작은 행렬-벡터 곱셈으로 설명됩니다:

$$v \longmapsto M v$$

기호 설명: $\longmapsto$ (매핑 화살표)

• 의미: "~로 매핑된다" 또는 "~로 변환된다"를 나타내는 기호
• 발음: "~로 매핑된다" 또는 "maps to"
• 사용: $v \longmapsto M v$는 "벡터 $v$가 $M v$로 변환된다"를 의미합니다.
• 차이점: $\rightarrow$는 함수 정의에, $\longmapsto$는 변환 과정을 나타낼 때 사용됩니다.

예시

$\Sigma=\{0,1\}$에 대해, $f: \Sigma \rightarrow \Sigma$ 형태의 함수는 네 가지가 있습니다:

$a$	$f_{1}(a)$	$a$	$f_{2}(a)$	$a$	$f_{3}(a)$	$a$	$f_{4}(a)$
0	0	0	0	0	1	0	1
1	0	1	1	1	0	1	1

이 함수들은 각각 다음 행렬로 표현됩니다:

$$M_{1}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right) \quad M_{2}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \quad M_{3}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right) \quad M_{4}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{array}\right)$$

Classical information에 대한 추가 설명

Probabilistic operations (확률적 연산)과 Stochastic matrices (확률 행렬)

결정론적 연산 외에도 probabilistic operations (확률적 연산)이 있습니다. 예를 들어, 비트의 고전 상태가 $0$이면 그대로 두고, $1$이면 확률 $1/2$로 $0$이 되거나 확률 $1/2$로 $1$이 되도록 뒤집는 연산이 있습니다. 이 연산은 다음 행렬로 표현됩니다:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

임의의 고전 상태 집합에 대해, 모든 확률적 연산은 stochastic matrices (확률 행렬)로 수학적으로 설명할 수 있으며, 이는 다음 두 가지 성질을 만족하는 행렬입니다:

1. 모든 항목은 음이 아닌 실수입니다.
2. 모든 열의 항목들의 합은 $1$입니다.

즉, 확률 행렬은 모든 열이 확률 벡터를 형성하는 행렬입니다. 확률 행렬은 항상 확률 벡터를 확률 벡터로 매핑하는 행렬이며, 확률 벡터를 항상 확률 벡터로 매핑하는 행렬은 확률 행렬입니다.

확률적 연산의 합성

확률적 연산의 합성은 행렬 곱셈으로 표현됩니다. 예를 들어, 확률 벡터 $u$에 첫 번째 연산 $M_1$을 적용하면 $M_1 u$가 되고, 여기에 두 번째 연산 $M_2$를 적용하면 $M_2(M_1 u) = (M_2 M_1) u$가 됩니다.

따라서 $M_1$을 먼저 적용하고 $M_2$를 나중에 적용하는 합성 연산은 행렬 $M_2 M_1$로 표현되며, 이는 반드시 확률 행렬입니다.

Quantum state (양자 상태)

Quantum state (양자 상태)는 복소수 계수를 가진 벡터로 표현됩니다. 비트의 경우, 양자 상태는 다음과 같은 형태입니다:

$$\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$

기호 설명: $\alpha$, $\beta$ (알파, 베타)

• 의미: 양자 상태의 복소수 계수(complex coefficients)
• 발음: "알파" (alpha), "베타" (beta)
• 사용: 양자 상태의 선형 결합에서 각 기저 상태의 계수를 나타냅니다.

여기서 $\alpha$와 $\beta$는 복소수이며, 다음 조건을 만족합니다:

$$|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$$

수식 읽기: $|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}=1$

• 읽는 방법: "알파의 절댓값 제곱 더하기 베타의 절댓값 제곱은 1과 같다" 또는 "absolute value of alpha squared plus absolute value of beta squared equals one"
• 의미: 정규화 조건(normalization condition)으로, 양자 상태의 확률의 합이 1이 되어야 함을 나타냅니다.
• $|\alpha|^{2}$는 상태 $|0\rangle$를 측정할 확률, $|\beta|^{2}$는 상태 $|1\rangle$를 측정할 확률을 의미합니다.

이 조건을 normalization condition (정규화 조건)이라고 합니다.

예시: Uniform superposition state (균등 중첩 상태)

$$|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

$$|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

기호 설명: $|+\rangle$, $|-\rangle$ (플러스 켓, 마이너스 켓)

• 의미: Hadamard basis (Hadamard 기저) 상태로, uniform superposition state (균등 중첩 상태)를 나타냅니다
• 발음: "플러스 켓" (plus ket), "마이너스 켓" (minus ket)
• 사용:
  • $|+\rangle$: $|0\rangle$와 $|1\rangle$의 균등 중첩 (모든 계수가 양수)
  • $|-\rangle$: $|0\rangle$와 $|1\rangle$의 균등 중첩 (하나의 계수가 음수)
• 특징: Hadamard 연산 $H$에 의해 $H|0\rangle=|+\rangle$, $H|1\rangle=|-\rangle$로 변환됩니다.

Qubit (양자 비트)

Qubit는 양자 정보의 기본 단위입니다. Qubit의 상태는 2차원 복소 벡터 공간의 단위 벡터로 표현됩니다.

Qubit 측정

Qubit를 측정하면 고전 비트(0 또는 1)를 얻습니다. 상태 $\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$를 측정하면:

• 확률 $|\alpha|^{2}$로 결과 0을 얻습니다.
• 확률 $|\beta|^{2}$로 결과 1을 얻습니다.

측정 후, Qubit는 측정된 결과에 해당하는 상태로 붕괴됩니다.

양자 상태에 대한 추가 설명

Euclidean norm (유클리드 노름)

열 벡터

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

의 *Euclidean norm (유클리드 노름)*은 다음과 같이 정의됩니다:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}$$

양자 상태 벡터의 절댓값 제곱의 합이 $1$이라는 조건은 따라서 그 벡터의 유클리드 노름이 $1$이라는 것과 동일합니다. 즉, 양자 상태 벡터는 유클리드 노름에 대한 *unit vectors (단위 벡터)*입니다.

Qubit 상태의 예시

다음은 Qubit의 양자 상태 예시입니다:

$$\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = |0\rangle \quad \text{그리고} \quad \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = |1\rangle$$

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle = |+\rangle$$

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3} \\ -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}|0\rangle - \frac{2}{3}|1\rangle$$

첫 두 예시 $|0\rangle$와 $|1\rangle$는 표준 기저 원소가 유효한 양자 상태 벡터임을 보여줍니다. 다른 예시들도 복소수 항목을 가지며 절댓값 제곱의 합이 $1$이므로 유효한 양자 상태 벡터입니다.

이들은 표준 기저 상태 $|0\rangle$와 $|1\rangle$의 선형 결합이며, 이러한 이유로 종종 상태 $0$과 $1$의 *superposition (중첩)*이라고 합니다. 양자 상태의 맥락에서 superposition과 linear combination은 본질적으로 동의어입니다.

다른 시스템의 양자 상태

임의의 고전 상태 집합을 가진 시스템의 양자 상태를 고려할 수 있습니다. 예를 들어, 전기 선풍기 스위치의 양자 상태 벡터는 다음과 같습니다:

$$\frac{1}{2}|\text{high}\rangle - \frac{i}{2}|\text{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|\text{off}\rangle$$

고전 상태가 high, medium, low, off 순서로 정렬되어 있다고 가정합니다.

Uniform superposition (균등 중첩)

임의의 고전 상태 집합 $\Sigma$에 대해, 다음 양자 상태 벡터를 고려할 수 있습니다:

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} |a\rangle$$

이것은 $\Sigma$의 고전 상태들에 대한 *uniform superposition (균등 중첩)*입니다.

Unitary operations (유니터리 연산)

Unitary operations (유니터리 연산)은 양자 상태를 변환하지만 확률의 합을 보존합니다. 행렬 $U$가 유니터리인 경우:

$$U^{\dagger}U=I$$

기호 설명: $U^{\dagger}$ (Dagger, 켤레 전치)

• 의미: 행렬 $U$의 conjugate transpose (켤레 전치) 또는 Hermitian conjugate (에르미트 켤레)
• 발음: "유 대거"
• 계산 방법: 행렬을 전치(transpose)한 후 각 원소의 복소 켤레(complex conjugate)를 취합니다.
• 특징: 유니터리 행렬은 $U^{\dagger}U=I$를 만족하며, 이는 역행렬이 $U^{\dagger}$임을 의미합니다.

수식 읽기: $U^{\dagger}U=I$

• 읽는 방법: "유 대거 곱하기 유는 단위 행렬과 같다" 또는 "U dagger times U equals identity matrix"
• 의미: 유니터리 행렬의 정의로, 행렬과 그 켤레 전치의 곱이 단위 행렬이 되는 행렬입니다.
• 물리적 의미: 유니터리 연산은 양자 상태의 확률을 보존하는 가역적 변환입니다.

여기서 $U^{\dagger}$는 $U$의 conjugate transpose (켤레 전치)이고, $I$는 identity matrix (단위 행렬)입니다.

1. Pauli operations (Pauli 연산)

Pauli operations (Pauli 연산)들은 다음과 같이 정의됩니다:

Pauli-X (NOT 연산)

$$X=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$

$$X|0\rangle=|1\rangle \quad \text{그리고} \quad X|1\rangle=|0\rangle$$

Pauli-Y

$$Y=\left(\begin{array}{cc} 0 & -i \\ i & 0 \end{array}\right)$$

기호 설명: $i$ (허수 단위)

• 의미: 허수 단위(imaginary unit)로, $i^{2}=-1$을 만족하는 수
• 발음: "아이" 또는 "허수 단위"
• 사용: 복소수를 표현할 때 사용되며, 양자 역학에서 위상(phase)을 나타내는 데 중요합니다.
• 참고: 공학에서는 $j$를 사용하기도 하지만, 수학과 물리학에서는 $i$를 사용합니다.

Pauli-Z

$$Z=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array}\right)$$

$$Z|0\rangle=|0\rangle \quad \text{그리고} \quad Z|1\rangle=-|1\rangle$$

2. Hadamard operation (Hadamard 연산)

Hadamard operation (Hadamard 연산)은 다음 행렬로 표현됩니다:

$$H=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

$H$가 유니터리임을 확인하는 것은 간단한 계산입니다:

$$\begin{aligned} H^{\dagger}H&=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)^{\dagger}\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{2}+\frac{1}{2} & \frac{1}{2}-\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}-\frac{1}{2} & \frac{1}{2}+\frac{1}{2} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}\right) \end{aligned}$$

Hadamard 연산 예시

$$\begin{aligned} & H|0\rangle=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\binom{1}{0}=\binom{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=|+\rangle \\ & H|1\rangle=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\binom{0}{1}=\binom{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=|-\rangle \\ & H|+\rangle=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\binom{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\binom{1}{0}=|0\rangle \\ & H|-\rangle=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\binom{\frac{1}{\sqrt{2}}}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=\binom{0}{1}=|1\rangle \end{aligned}$$

정리하면:

$$\begin{array}{ll} H|0\rangle=|+\rangle & H|+\rangle=|0\rangle \\ H|1\rangle=|-\rangle & H|-\rangle=|1\rangle \end{array}$$

3. Phase operation (Phase 연산)

Phase operation (Phase 연산)은 다음 행렬로 설명됩니다:

$$P_{\theta}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i \theta} \end{array}\right)$$

기호 설명: $\theta$ (세타)

• 의미: 각도나 위상(phase)을 나타내는 그리스 문자
• 발음: "세타" (theta)
• 사용: 위상 연산에서 위상 각도를 나타냅니다.

수식 읽기: $e^{i \theta}$ (오일러 공식)

• 읽는 방법: "이의 아이 세타 제곱" 또는 "e to the i theta"
• 의미: 오일러 공식(Euler's formula)로, $e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta$를 나타냅니다.
• 물리적 의미: 위상 $\theta$만큼 회전하는 연산을 나타냅니다.
• 특수한 경우:
  • $e^{i\pi} = -1$ (오일러 항등식)
  • $e^{i\pi/2} = i$
  • $e^{i\pi/4} = \frac{1+i}{\sqrt{2}}$

여기서 $\theta$는 임의의 실수입니다.

중요한 예시들:

$$S=P_{\pi / 2}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & i \end{array}\right) \quad \text{그리고} \quad T=P_{\pi / 4}=\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & \frac{1+i}{\sqrt{2}} \end{array}\right)$$

기호 설명: $\pi$ (파이)

• 의미: 원주율(pi)로, 약 3.14159...의 무리수
• 발음: "파이" (pi)
• 사용: 각도나 위상을 라디안(radian) 단위로 표현할 때 사용됩니다.
• 참고:
  • $\pi/2$는 90도 (직각)
  • $\pi/4$는 45도
  • $\pi$는 180도

Phase 연산 예시

$$\begin{aligned} & T|0\rangle=|0\rangle \quad \text{그리고} \quad T|1\rangle=\frac{1+i}{\sqrt{2}}|1\rangle \\ & T|+\rangle=T\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} T|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}} T|1\rangle \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1+i}{2}|1\rangle \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} & HT|+\rangle=H\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1+i}{2}|1\rangle\right) \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}} H|0\rangle+\frac{1+i}{2} H|1\rangle \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}|+\rangle+\frac{1+i}{2}|-\rangle \\ & =\left(\frac{1}{2}|0\rangle+\frac{1}{2}|1\rangle\right)+\left(\frac{1+i}{2 \sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1+i}{2 \sqrt{2}}|1\rangle\right) \\ & =\left(\frac{1}{2}+\frac{1+i}{2 \sqrt{2}}\right)|0\rangle+\left(\frac{1}{2}-\frac{1+i}{2 \sqrt{2}}\right)|1\rangle \end{aligned}$$

Composition of unitary operations (유니터리 연산의 합성)

Unitary operations의 composition (합성)은 행렬 곱셈으로 표현됩니다(확률적 설정과 유사).

예시: NOT의 제곱근

Hadamard operation을 적용한 다음, phase operation $S$를 적용하고, 다시 Hadamard operation을 적용하면 다음 연산을 얻습니다:

$$\begin{aligned} HSH&=\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\ 0 & i \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{array}\right) \\ &=\left(\begin{array}{cc} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{array}\right) \end{aligned}$$

이 유니터리 연산을 두 번 적용하면 NOT 연산을 얻습니다:

$$(HSH)^{2}=\left(\begin{array}{cc} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\ \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right)$$

즉, $R = HSH$는 square root of NOT 연산입니다. 같은 연산을 두 번 적용하여 NOT 연산을 얻는 이러한 동작은 단일 비트에 대한 고전 연산에서는 불가능합니다.

Qiskit을 사용한 구현 예제

이 섹션에서는 이 강의에서 소개된 개념들의 Qiskit 구현을 살펴봅니다. Qiskit은 IBM에서 개발한 양자 컴퓨팅 프레임워크입니다.

Python에서의 벡터와 행렬

Qiskit은 Python 프로그래밍 언어를 사용하므로, Python에서 행렬과 벡터 계산을 수행하는 방법을 간단히 살펴보겠습니다.

Python에서 행렬과 벡터 계산은 NumPy 라이브러리의 array 클래스를 사용하여 수행할 수 있습니다. 다음 코드는 이 라이브러리를 로드하고, Qubit 상태 벡터 $|0\rangle$와 $|1\rangle$에 해당하는 두 개의 열 벡터 ket0와 ket1를 정의한 다음, 그들의 평균을 출력합니다:

import numpy as np

ket0 = np.array([[1], [0]])
ket1 = np.array([[0], [1]])

print(ket0 / 2 + ket1 / 2)
# 출력: [[0.5]
#        [0.5]]

array를 사용하여 연산을 나타내는 행렬을 만들 수도 있습니다:

M1 = np.array([[1, 1], [0, 0]])
M2 = np.array([[1, 0], [0, 1]])
M = M1 / 2 + M2 / 2
print(M)
# 출력: [[1.  0.5]
#        [0.  0.5]]

행렬 곱셈(행렬-벡터 곱셈을 특수한 경우로 포함)은 NumPy의 matmul 함수를 사용하여 수행할 수 있습니다:

print(np.matmul(M1, ket1))
# 출력: [[1]
#        [0]]

print(np.matmul(M1, M2))
# 출력: [[1 1]
#        [0 0]]

print(np.matmul(M, M))
# 출력: [[1.   0.75]
#        [0.   0.25]]

더 보기 좋은 출력을 위해 Qiskit의 qiskit.visualization 모듈에서 array_to_latex 함수를 사용할 수 있습니다:

from qiskit.visualization import array_to_latex
from IPython.display import display

display(array_to_latex(np.matmul(M1, ket1)))
display(array_to_latex(np.matmul(M1, M2)))
display(array_to_latex(np.matmul(M, M)))

Statevector를 사용한 상태 정의 및 표시

Qiskit의 Statevector 클래스는 양자 상태 벡터를 정의하고 조작하는 기능을 제공합니다:

from qiskit.quantum_info import Statevector
from numpy import sqrt

u = Statevector([1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2)])
v = Statevector([(1 + 2.0j) / 3, -2 / 3])
w = Statevector([1 / 3, 2 / 3])

Statevector 클래스는 상태 벡터를 다양한 방식으로 표시하는 draw 메서드를 포함합니다:

display(u.draw("text"))  # 일반 텍스트
display(u.draw("latex"))  # 렌더링된 LaTeX
print(u.draw("latex_source"))  # LaTeX 코드

Statevector 클래스는 또한 주어진 벡터가 유효한 양자 상태 벡터인지 확인하는 is_valid 메서드를 포함합니다 (즉, 유클리드 노름이 1인지):

display(u.is_valid())  # True
display(w.is_valid())  # False

Statevector를 사용한 측정 시뮬레이션

Statevector 클래스의 measure 메서드를 사용하여 양자 상태의 측정을 시뮬레이션할 수 있습니다:

outcome, state = v.measure()
print(f"Measured: {outcome}\nPost-measurement state:")
display(state.draw("latex"))

측정 결과는 확률적이므로 이 메서드는 여러 번 실행할 때 다른 결과를 반환할 수 있습니다.

Statevector는 또한 시스템에 대한 여러 측정을 시뮬레이션할 수 있는 sample_counts 메서드를 제공합니다:

from qiskit.visualization import plot_histogram

statistics = v.sample_counts(1000)
plot_histogram(statistics)

Operator와 Statevector를 사용한 연산 수행

유니터리 연산은 Qiskit에서 Operator 클래스를 사용하여 정의할 수 있습니다:

from qiskit.quantum_info import Operator

Y = Operator([[0, -1.0j], [1.0j, 0]])
H = Operator([[1 / sqrt(2), 1 / sqrt(2)], [1 / sqrt(2), -1 / sqrt(2)]])
S = Operator([[1, 0], [0, 1.0j]])
T = Operator([[1, 0], [0, (1 + 1.0j) / sqrt(2)]])

display(T.draw("latex"))

evolve 메서드를 사용하여 상태 벡터에 유니터리 연산을 적용할 수 있습니다:

v = Statevector([1, 0])

v = v.evolve(H)
v = v.evolve(T)
v = v.evolve(H)
v = v.evolve(S)
v = v.evolve(Y)

display(v.draw("latex"))

양자 회로 미리보기

양자 회로는 이 강의의 세 번째 강의에서 공식적으로 소개되지만, Qiskit의 QuantumCircuit 클래스를 사용하여 Qubit 유니터리 연산의 합성을 실험할 수 있습니다:

from qiskit import QuantumCircuit

circuit = QuantumCircuit(1)

circuit.h(0)  # Hadamard
circuit.t(0)  # T gate
circuit.h(0)  # Hadamard
circuit.s(0)  # S gate
circuit.y(0)  # Y gate

display(circuit.draw(output="mpl"))

회로에 해당하는 유니터리 행렬을 얻는 편리한 방법은 Operator 클래스의 from_circuit 메서드를 사용하는 것입니다:

display(Operator.from_circuit(circuit).draw("latex"))

초기 양자 상태 벡터를 설정하고 회로에 설명된 연산 시퀀스에 따라 해당 상태를 진화시킬 수도 있습니다:

ket0 = Statevector([1, 0])
v = ket0.evolve(circuit)
display(v.draw("latex"))

요약

1. Classical information (고전 정보): probability vector (확률 벡터)로 표현되는 probabilistic state (확률적 상태)
2. Dirac notation (Dirac 표기법): $|\alpha\rangle$ 형태의 표기법
3. Quantum state (양자 상태): 복소수 계수를 가진 벡터로 표현되며 normalization condition (정규화 조건)을 만족
4. Qubit: 양자 정보의 기본 단위
5. Unitary operations (유니터리 연산):
   • Pauli operations (Pauli 연산들) (X, Y, Z)
   • Hadamard operation (Hadamard 연산) (H)
   • Phase operations (Phase 연산들) (S, T)
6. Composition of operations (연산의 합성): 행렬 곱셈을 통해 표현

이러한 개념들은 양자 알고리즘과 양자 계산을 이해하는 기초가 됩니다.