Lesson 3: 양자 회로 - 양자 정보와 계산 이해하기

이 글은 양자 정보와 계산에 대한 세 번째 강의로, 양자 회로 모델과 양자 정보의 제한사항에 대해 설명합니다.

Circuits (회로)

Circuits (회로)는 계산의 모델입니다:

• Wires (선)는 정보를 전달합니다
• Gates (게이트)는 연산을 나타냅니다

이 시리즈에서 circuits (회로)는 항상 acyclic (비순환적)입니다 — 정보는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐릅니다.

예시: Boolean circuits (불린 회로)

Wires (선)는 이진 값을 저장하고, gates (게이트)는 AND (∧), OR (∨), NOT (¬), FANOUT (∙)과 같은 Boolean logic operations (불린 논리 연산)을 나타냅니다.

예시: Arithmetic circuits (산술 회로)

Wires (선)는 숫자를 저장하고, gates (게이트)는 addition (+)과 multiplication (*)과 같은 arithmetic operations (산술 연산)을 나타냅니다.

Quantum circuits (양자 회로)

Quantum circuit (양자 회로) 모델에서, wires (선)는 qubit을 나타내고, gates (게이트)는 unitary operations (유니터리 연산)과 measurements (측정)을 모두 나타냅니다.

Convention (규약)

이 시리즈(그리고 Qiskit)에서, qubit을 bottom-to-top (아래에서 위로) 정렬하는 것은 left-to-right (왼쪽에서 오른쪽) 정렬하는 것과 동일합니다.

용어 설명: Quantum circuit (양자 회로)

• 의미: Quantum circuit (양자 회로)는 양자 계산을 표현하는 표준 방법입니다
• 발음: "양자 회로" 또는 "quantum circuit"
• 구성 요소:
  • Wires (선): qubit을 나타냄
  • Gates (게이트): unitary operations (유니터리 연산)과 measurements (측정)을 나타냄
• 특징: 정보는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르며, 비순환적(acyclic)입니다.

양자 회로 예시

다음은 단일 qubit에 대한 간단한 양자 회로 예시입니다:

|0⟩ ──[H]──[S]──[H]──[T]──

이 회로는 다음 연산의 합성을 나타냅니다: $THSH$.

두 qubit에 대한 예시:

|0⟩ ──[H]───────●──
                │
|0⟩ ────────────⊕──

여기서 $H$는 Hadamard operation (Hadamard 연산)을 나타내고, ●는 control qubit (제어 qubit), ⊕는 target qubit (대상 qubit)을 나타내는 controlled-NOT operation (제어-NOT 연산)입니다.

이 회로는 Bell state (벨 상태) $|\phi^+\rangle$를 생성합니다.

양자 회로의 정보 흐름

양자 회로에서 정보의 흐름을 다이어그램으로 표현하면 다음과 같습니다:

이 다이어그램은 Bell state (벨 상태) 생성 회로의 정보 흐름을 보여줍니다.

양자 회로의 일반적인 구조

양자 회로의 일반적인 구조를 다이어그램으로 표현하면:

Inner products (내적)

Dirac notation (Dirac 표기법)을 사용할 때, ket는 열 벡터이고 그에 해당하는 bra는 행 벡터입니다:

$$|\psi\rangle=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) \quad\langle\psi|=\left(\begin{array}{ccc} \overline{\alpha_{1}} & \cdots & \overline{\alpha_{n}} \end{array}\right)$$

두 ket가 있다고 가정합니다:

$$|\psi\rangle=\left(\begin{array}{c} \alpha_{1} \\ \vdots \\ \alpha_{n} \end{array}\right) \quad \text{그리고} \quad|\phi\rangle=\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{array}\right)$$

그러면 다음을 가집니다:

$$\langle\psi \mid \phi\rangle=\left(\begin{array}{ccc} \overline{\alpha_{1}} & \cdots & \overline{\alpha_{n}} \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} \beta_{1} \\ \vdots \\ \beta_{n} \end{array}\right)=\overline{\alpha_{1}} \beta_{1}+\cdots+\overline{\alpha_{n}} \beta_{n}$$

이것은 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$의 inner product (내적)입니다.

기호 설명: $\langle\psi|\phi\rangle$ (내적)

• 의미: 두 벡터 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$의 inner product (내적)을 나타냅니다
• 발음: "파이 브라 파이 켓" 또는 "bra psi ket phi"
• 계산: $\langle\psi|\phi\rangle = \sum_{i} \overline{\alpha_i} \beta_i$ (각 계수의 복소 켤레와 다른 계수의 곱의 합)
• 특징:
  • $\langle\psi|\phi\rangle = \overline{\langle\phi|\psi\rangle}$ (켤레 대칭)
  • $\langle\psi|\psi\rangle = \||\psi\rangle\|^2$ (자기 자신과의 내적은 노름의 제곱)

내적의 개념과 계산

내적의 개념과 계산 과정을 다이어그램으로 표현하면:

대안적 표현

두 열 벡터가 다음과 같이 표현된다고 가정합니다:

$$|\psi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \alpha_{a}|a\rangle \quad \text{그리고} \quad|\phi\rangle=\sum_{b \in \Sigma} \beta_{b}|b\rangle$$

그러면 이러한 벡터의 inner product (내적)는 다음과 같습니다:

$$\begin{aligned} \langle\psi \mid \phi\rangle & =\left(\sum_{a \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}}\langle a|\right)\left(\sum_{b \in \Sigma} \beta_{b}|b\rangle\right) \\ & =\sum_{a \in \Sigma} \sum_{b \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}} \beta_{b}\langle a \mid b\rangle \\ & =\sum_{a \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}} \beta_{a} \end{aligned}$$

수식 읽기: $\langle\psi \mid \phi\rangle = \sum_{a \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}} \beta_{a}$

• 읽는 방법: "파이 브라 파이 켓은 시그마에 속하는 모든 a에 대해 알파 a의 켤레 곱하기 베타 a의 합과 같다"
• 의미: 두 양자 상태 벡터의 내적은 각 기저 상태에 대한 계수의 복소 켤레와 계수의 곱의 합입니다.
• 물리적 의미: 두 상태의 유사도나 겹침을 나타냅니다.

Euclidean norm과의 관계

임의의 벡터

$$|\psi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \alpha_{a}|a\rangle$$

에 대해, 자기 자신과의 inner product (내적)는 다음과 같습니다:

$$\langle\psi \mid \psi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}} \alpha_{a}=\sum_{a \in \Sigma}\left|\alpha_{a}\right|^{2}=\||\psi\rangle \|^{2}$$

즉, 벡터 $|\psi\rangle$의 Euclidean norm (유클리드 노름)은 다음과 같이 주어집니다:

$$\||\psi\rangle\|=\sqrt{\langle\psi \mid \psi\rangle}$$

수식 읽기: $\||\psi\rangle\|=\sqrt{\langle\psi \mid \psi\rangle}$

• 읽는 방법: "파이 켓의 노름은 파이 브라 파이 켓의 제곱근과 같다"
• 의미: 벡터의 유클리드 노름은 자기 자신과의 내적의 제곱근입니다.
• 양자 상태: 양자 상태 벡터는 노름이 1이므로, $\langle\psi|\psi\rangle = 1$입니다.

Conjugate symmetry (켤레 대칭)

임의의 두 벡터

$$|\psi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \alpha_{a}|a\rangle \text{ 그리고 }|\phi\rangle=\sum_{b \in \Sigma} \beta_{b}|b\rangle$$

에 대해 다음을 가집니다:

$$\langle\psi \mid \phi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \overline{\alpha_{a}} \beta_{a} \text{ 그리고 }\langle\phi \mid \psi\rangle=\sum_{a \in \Sigma} \overline{\beta_{a}} \alpha_{a}$$

따라서

$$\langle\psi \mid \phi\rangle=\overline{\langle\phi \mid \psi\rangle}$$

입니다.

Linearity (선형성)

두 번째 인수에서의 선형성: $|\psi\rangle,\left|\phi_{1}\right\rangle$, $\left|\phi_{2}\right\rangle$가 벡터이고 $\alpha_{1}$과 $\alpha_{2}$가 복소수라고 가정합니다. 새로운 벡터를 다음과 같이 정의하면:

$$|\phi\rangle=\alpha_{1}\left|\phi_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left|\phi_{2}\right\rangle$$

다음을 가집니다:

$$\langle\psi \mid \phi\rangle=\langle\psi|\left(\alpha_{1}\left|\phi_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left|\phi_{2}\right\rangle\right)=\alpha_{1}\left\langle\psi \mid \phi_{1}\right\rangle+\alpha_{2}\left\langle\psi \mid \phi_{2}\right\rangle$$

첫 번째 인수에서의 켤레 선형성: $\left|\psi_{1}\right\rangle,\left|\psi_{2}\right\rangle$, $|\phi\rangle$가 벡터이고 $\beta_{1}$과 $\beta_{2}$가 복소수라고 가정합니다. 새로운 벡터를 다음과 같이 정의하면:

$$|\psi\rangle=\beta_{1}\left|\psi_{1}\right\rangle+\beta_{2}\left|\psi_{2}\right\rangle$$

다음을 가집니다:

$$\langle\psi \mid \phi\rangle=\left(\overline{\beta_{1}}\left\langle\psi_{1}\right|+\overline{\beta_{2}}\left\langle\psi_{2}\right|\right)|\phi\rangle=\overline{\beta_{1}}\left\langle\psi_{1} \mid \phi\right\rangle+\overline{\beta_{2}}\left\langle\psi_{2} \mid \phi\right\rangle$$

Orthogonality (직교성)

두 벡터 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$가 orthogonal (직교)한다는 것은 $\langle\psi|\phi\rangle = 0$을 의미합니다.

용어 설명: Orthogonality (직교성)

• 의미: 두 벡터가 orthogonal (직교)한다는 것은 내적이 0이라는 의미입니다
• 발음: "직교성" 또는 "orthogonality"
• 수학적 정의: $\langle\psi|\phi\rangle = 0$
• 물리적 의미: 두 양자 상태가 완전히 구별 가능함을 의미합니다.

Irrelevance of global phases (전역 위상의 무관성)

Global phase (전역 위상)의 개념은 양자 상태 벡터로 양자 상태를 표현하는 방식의 약간의 퇴화(degeneracy)에 관한 것으로, 실제 제한사항이라기보다는 표현 방식의 특성입니다.

$|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$가 어떤 시스템의 양자 상태를 나타내는 단위 벡터라고 가정하고, 단위원 위의 복소수 $\alpha$가 존재하여 $|\alpha| = 1$ (또는 대안적으로 어떤 실수 $\theta$에 대해 $\alpha = e^{i\theta}$)이고 다음을 만족한다고 가정합니다:

$$|\phi\rangle = \alpha |\psi\rangle$$

벡터 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$는 global phase (전역 위상)만큼 다르다고 말합니다. 때때로 $\alpha$를 global phase (전역 위상)라고 부르기도 하지만, 이것은 맥락에 따라 다릅니다. 단위원 위의 모든 수는 단위 벡터에 곱해질 때 global phase (전역 위상)로 생각할 수 있습니다.

시스템이 두 양자 상태 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$ 중 하나에 있고, 시스템이 standard basis measurement (표준 기저 측정)를 받는다고 가정합니다. 첫 번째 경우(시스템이 상태 $|\psi\rangle$에 있는 경우)에서, 임의의 고전 상태 $a$를 측정할 확률은 다음과 같습니다:

$$\bigl|\langle a | \psi \rangle \bigr|^2$$

두 번째 경우(시스템이 상태 $|\phi\rangle$에 있는 경우)에서, 임의의 고전 상태 $a$를 측정할 확률은 다음과 같습니다:

$$\bigl|\langle a | \phi \rangle \bigr|^2 = \bigl|\alpha \langle a | \psi \rangle \bigr|^2 = |\alpha|^2 \bigl|\langle a | \psi \rangle \bigr|^2 = \bigl|\langle a | \psi \rangle \bigr|^2$$

$|\alpha| = 1$이기 때문입니다. 즉, 결과가 나타날 확률은 두 상태 모두에서 동일합니다.

이제 임의의 unitary operation (유니터리 연산) $U$를 두 상태에 모두 적용하면 어떻게 되는지 고려해봅시다. 첫 번째 경우(초기 상태가 $|\psi\rangle$인 경우)에서, 상태는 다음과 같이 됩니다:

$$U |\psi\rangle$$

두 번째 경우(초기 상태가 $|\phi\rangle$인 경우)에서, 상태는 다음과 같이 됩니다:

$$U |\phi\rangle = \alpha U |\psi\rangle$$

즉, 두 결과 상태는 여전히 같은 global phase (전역 위상) $\alpha$만큼 다릅니다.

결과적으로, global phase (전역 위상)만큼 다른 두 양자 상태 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$는 완전히 구별할 수 없습니다. 어떤 연산이나 연산 시퀀스를 두 상태에 적용하더라도, 항상 global phase (전역 위상)만큼 다르며, standard basis measurement (표준 기저 측정)를 수행하면 정확히 같은 확률로 결과를 생성합니다. 이러한 이유로, global phase (전역 위상)만큼 다른 두 양자 상태 벡터는 동등한 것으로 간주되며, 효과적으로 같은 상태로 봅니다.

예시

다음 양자 상태들:

$$|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle \quad \text{그리고} \quad-|-\rangle=-\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

는 global phase (전역 위상)만큼 다릅니다(이 예시에서는 $-1$).

반면, 다음 양자 상태들:

$$|+\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle \quad \text{그리고} \quad|-\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$$

는 global phase (전역 위상)만큼 다르지 않습니다. (이것은 relative phase difference (상대 위상 차이)입니다.)

이것은 이전에 관찰한 것과 일치합니다. 즉, 상태 $|+\rangle$와 $|-\rangle$는 완벽하게 구별할 수 있습니다. 특히, Hadamard operation (Hadamard 연산)을 수행한 다음 측정하면 다음과 같은 결과 확률을 얻습니다:

$$\begin{array}{c|c} |\langle 0| H|+\rangle|^{2}=1 & |\langle 0| H|-\rangle|^{2}=0 \\ |\langle 1| H|+\rangle|^{2}=0 & |\langle 1| H|-\rangle|^{2}=1 \end{array}$$

용어 설명: Global phase (전역 위상)

• 의미: Global phase (전역 위상)는 양자 상태 벡터에 단위원 위의 복소수를 곱한 것입니다
• 발음: "전역 위상" 또는 "global phase"
• 특징:
  • Global phase (전역 위상)는 측정 결과에 영향을 주지 않습니다
  • Global phase (전역 위상)만큼 다른 두 상태는 물리적으로 동일합니다
• 차이점: Relative phase (상대 위상)는 측정 결과에 영향을 줍니다.

Global phase와 Relative phase의 차이

Global phase (전역 위상)와 relative phase (상대 위상)의 차이를 다이어그램으로 표현하면:

No-cloning theorem (복제 불가 정리)

No-cloning theorem (복제 불가 정리)는 알려지지 않은 양자 상태의 완벽한 복사본을 만드는 것이 불가능하다는 것을 보여줍니다.

정리 (No-cloning theorem)

$\Sigma$가 최소 두 개의 원소를 가진 classical state set (고전 상태 집합)이고, $X$와 $Y$가 같은 classical state set (고전 상태 집합) $\Sigma$를 공유하는 시스템이라고 가정합니다. $Y$의 양자 상태 $|\phi\rangle$와 쌍 $(X, Y)$에 대한 unitary operation (유니터리 연산) $U$가 존재하지 않아서, $X$의 모든 상태 $|\psi\rangle$에 대해 다음을 만족합니다:

$$U(|\psi\rangle \otimes |0\rangle) = |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$$

즉, 시스템 $Y$를 초기화하고(어떤 상태 $|\phi\rangle$로든) 결합 시스템 $(X, Y)$에 unitary operation (유니터리 연산) $U$를 수행하여 $X$의 상태 $|\psi\rangle$를 복제하는 방법은 없습니다 — 결과적으로 $(X, Y)$가 상태 $|\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$에 있게 됩니다.

이 정리의 증명은 실제로 매우 간단합니다: 매핑

$$|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle \longmapsto |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$$

이 $|\psi\rangle$에서 선형이 아니라는 관찰로 요약됩니다.

특히, $\Sigma$가 최소 두 개의 원소를 가지므로, $a \neq b$인 $a,b\in\Sigma$를 선택할 수 있습니다. $X$의 모든 양자 상태 $|\psi\rangle$에 대해 $U(|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle) = |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$를 만족하는 $Y$의 양자 상태 $|\phi\rangle$와 쌍 $(X, Y)$에 대한 unitary operation (유니터리 연산) $U$가 존재한다면, 다음이 성립해야 합니다:

$$U(|a\rangle \otimes |\phi\rangle) = |a\rangle \otimes |a\rangle \quad \text{그리고} \quad U(|b\rangle \otimes |\phi\rangle) = |b\rangle \otimes |b\rangle$$

선형성에 의해, 구체적으로 첫 번째 인수에서 텐서 곱의 선형성과 두 번째(벡터) 인수에서 행렬-벡터 곱셈의 선형성을 고려하면, 다음을 가져야 합니다:

$$U\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle\right) \otimes |\phi\rangle\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle \otimes |a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle \otimes |b\rangle$$

그러나 모든 양자 상태 $|\psi\rangle$에 대해 $U(|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle) = |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$라는 요구사항은 다음을 요구합니다:

$$\begin{aligned} & U\left(\left(\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle\right) \otimes |\phi\rangle\right) \\ & \qquad = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle\right) \otimes \left(\frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle\right) \\ & \qquad = \frac{1}{2}|a\rangle \otimes |a\rangle + \frac{1}{2}|a\rangle \otimes |b\rangle + \frac{1}{2}|b\rangle \otimes |a\rangle + \frac{1}{2}|b\rangle \otimes |b\rangle \\ & \qquad \neq \frac{1}{\sqrt{2}}|a\rangle \otimes |a\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|b\rangle \otimes |b\rangle \end{aligned}$$

따라서 모든 양자 상태 벡터 $|\psi\rangle$에 대해 $U(|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle) = |\psi\rangle \otimes |\psi\rangle$를 만족하는 상태 $|\phi\rangle$와 unitary operation (유니터리 연산) $U$가 존재할 수 없습니다.

No-cloning theorem의 논리 흐름

No-cloning theorem (복제 불가 정리)의 증명 논리를 다이어그램으로 표현하면:

표준 기저 상태 복제

표준 기저 상태는 복제 가능하지만, 임의의 양자 상태는 복제할 수 없습니다:

비고

No-cloning theorem (복제 불가 정리)에 대한 몇 가지 비고가 있습니다.

첫 번째는 위의 no-cloning theorem (복제 불가 정리)의 진술이 절대적이라는 것입니다. 즉, 완벽한 복제가 불가능하다고 말하지만, 제한된 정확도로 복제하는 것에 대해서는 아무 말도 하지 않습니다. 여기서는 두 다른 양자 상태가 얼마나 유사할 수 있는지를 측정하는 어떤 방법에 대해 근사 복제본을 생성하는 데 성공할 수 있습니다. 실제로, 근사 복제에 대한 제한을 두는 no-cloning theorem (복제 불가 정리)의 진술이 있으며, 제한된 정확도로 근사 복제를 달성하는 방법도 있습니다.

두 번째 비고는 no-cloning theorem (복제 불가 정리)가 임의의 상태 $|\psi\rangle$를 복제하는 불가능성에 대한 진술이라는 것입니다. 대조적으로, 표준 기저 상태를 복제하는 것은 쉽게 할 수 있습니다. 예를 들어, controlled-NOT operation (제어-NOT 연산)을 사용하여 qubit 표준 기저 상태를 복제할 수 있습니다:

|a⟩ ──●──
      │
|0⟩ ──⊕──

여기서 $|a\rangle$는 $|0\rangle$ 또는 $|1\rangle$이며, 이는 고전적으로 실현 가능한 상태입니다. 표준 기저 상태의 복제본을 만드는 데 어려움이 없지만, 이것은 no-cloning theorem (복제 불가 정리)와 모순되지 않습니다. 예를 들어, 이 controlled-NOT gate (제어-NOT 게이트) 접근 방식은 상태 $|+\rangle$의 복제본을 만드는 데 성공하지 못할 것입니다.

no-cloning theorem (복제 불가 정리)에 대한 마지막 비고는 이것이 양자 정보에만 고유한 것이 아니라는 것입니다 — 고전적(결정론적 또는 확률적) 프로세스를 사용하여 임의의 probabilistic state (확률적 상태)를 복제하는 것도 불가능합니다. 누군가가 어떤 probabilistic state (확률적 상태)에 있는 시스템을 건네주지만, 그 probabilistic state (확률적 상태)가 무엇인지 확실하지 않다고 상상해봅시다. 예를 들어, 그들이 $1$과 $10$ 사이의 숫자를 무작위로 생성했지만, 그 숫자를 어떻게 생성했는지 알려주지 않았을 수 있습니다. 같은 probabilistic state (확률적 상태)의 두 개의 독립적인 복사본을 얻을 수 있는 물리적 프로세스는 확실히 없습니다: 손에 있는 것은 $1$과 $10$ 사이의 숫자뿐이며, 다른 모든 결과가 나타날 확률을 어떻게든 재구성할 수 있을 만큼 충분한 정보가 없습니다.

수학적으로 말하면, probabilistic states (확률적 상태)에 대한 no-cloning theorem (복제 불가 정리)의 버전은 일반적인 no-cloning theorem (복제 불가 정리)(양자 상태에 대한)와 정확히 같은 방식으로 증명할 수 있습니다. 즉, 임의의 probabilistic state (확률적 상태)를 복제하는 것은 비선형 프로세스이므로, 확률 행렬로 표현될 수 없습니다.

용어 설명: No-cloning theorem (복제 불가 정리)

• 의미: No-cloning theorem (복제 불가 정리)는 알려지지 않은 양자 상태를 완벽하게 복제하는 것이 불가능하다는 정리입니다
• 발음: "복제 불가 정리" 또는 "no-cloning theorem"
• 핵심: 복제 연산은 비선형이므로 유니터리 연산으로 표현될 수 없습니다
• 예외: 표준 기저 상태는 복제 가능합니다
• 중요성: 양자 암호학과 양자 정보 이론의 기초가 됩니다.

Discriminating non-orthogonal states (비직교 상태 구분)

두 양자 상태 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$가 orthogonal (직교)하지 않으면, 즉 $\langle \phi|\psi\rangle \neq 0$이면, 이들을 완벽하게 구별하는(또는 달리 말하면 구분하는) 것이 불가능하다는 것을 보여드리겠습니다.

실제로, 우리는 논리적으로 동등한 것을 보여드리겠습니다: 두 상태를 완벽하게, 오류 없이 구별하는 방법이 있다면, 그것들은 반드시 orthogonal (직교)해야 합니다.

임의의 수의 unitary gates (유니터리 게이트)로 구성되고, 그 다음 top qubit의 단일 standard basis measurement (표준 기저 측정)가 뒤따르는 양자 회로에 대한 주의를 제한하겠습니다. 양자 회로가 상태 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$를 완벽하게 구별한다고 말하기 위해 요구되는 것은, 측정이 항상 두 상태 중 하나에 대해서는 값 $0$을 산출하고 다른 상태에 대해서는 항상 $1$을 산출한다는 것입니다.

정확하게 말하면, 다음 다이어그램이 제안하는 것처럼 작동하는 양자 회로가 있다고 가정합니다:

|0⋯0⟩ ──[U]──[M]── 0 (for |ψ⟩)
|ψ⟩  ────────┘

|0⋯0⟩ ──[U]──[M]── 1 (for |φ⟩)
|φ⟩  ────────┘

비직교 상태 구분 과정

비직교 상태를 구분하는 과정을 다이어그램으로 표현하면:

직교 상태와 비직교 상태의 구분 가능성

직교 상태와 비직교 상태의 구분 가능성을 다이어그램으로 표현하면:

$U$로 표시된 상자는 회로의 모든 unitary gates (유니터리 게이트)의 결합된 동작을 나타내는 unitary operation (유니터리 연산)을 나타내지만, 최종 측정은 포함하지 않습니다. 측정이 $|\psi\rangle$에 대해서는 $0$을 출력하고 $|\phi\rangle$에 대해서는 $1$을 출력한다고 가정하는 데 일반성을 잃지 않습니다. 이러한 출력 값이 반대라면 분석이 근본적으로 다르지 않을 것입니다.

회로가 상태 $|\psi\rangle$에서 실행될 때(초기화된 workspace qubit들과 함께), 측정이 수행되기 직전의 결과 상태는 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$$U \bigl( |0\cdots 0 \rangle | \psi \rangle\bigr) = | \gamma_0\rangle|0 \rangle + | \gamma_1 \rangle|1 \rangle$$

top qubit을 제외한 모든 qubit에 해당하는 두 벡터 $| \gamma_0\rangle$와 $| \gamma_1 \rangle$에 대해. 일반적으로, 이러한 상태에 대해 top qubit의 측정이 결과 $0$과 $1$을 산출할 확률은 다음과 같습니다:

$$\operatorname{Pr}(\text{결과가 $0$}) = \bigl\| |\gamma_0\rangle \bigr\|^2 \quad \text{그리고} \quad \operatorname{Pr}(\text{결과가 $1$}) = \bigl\| |\gamma_1\rangle \bigr\|^2$$

회로가 항상 상태 $|\psi\rangle$에 대해 $0$을 출력하므로, $|\gamma_1\rangle = 0$이어야 하며, 따라서

$$U \bigl( |0\cdots 0\rangle| \psi \rangle \bigr) = |\gamma_0\rangle|0 \rangle$$

입니다.

이 방정식의 양변에 $U^{\dagger}$를 곱하면 다음 방정식을 얻습니다:

$$|0\cdots 0\rangle| \psi \rangle = U^{\dagger} \bigl( | \gamma_0\rangle|0 \rangle \bigr) \tag{1}$$

$|\phi\rangle$에 대해서도 유사하게 추론하면, 다음을 결론지을 수 있습니다:

$$U \bigl( |0\cdots 0\rangle| \phi \rangle \bigr) = | \delta_1\rangle|1 \rangle$$

어떤 벡터 $|\delta_1\rangle$에 대해, 따라서

$$|0\cdots 0\rangle| \phi \rangle = U^{\dagger} \bigl( | \delta_1\rangle|1 \rangle\bigr) \tag{2}$$

입니다.

이제 방정식 $(1)$과 $(2)$로 표현된 벡터의 inner product (내적)를 취하겠습니다. 각 방정식의 오른쪽 표현부터 시작합니다:

$$\bigl(U^{\dagger} \bigl( | \gamma_0\rangle|0 \rangle \bigr)\bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle\gamma_0|\langle 0| \bigr)U$$

따라서 벡터 $(1)$과 벡터 $(2)$의 inner product (내적)는 다음과 같습니다:

$$\bigl( \langle\gamma_0|\langle 0| \bigr)U U^{\dagger} \bigl( | \delta_1\rangle|1 \rangle\bigr) = \bigl( \langle\gamma_0|\langle 0| \bigr) \bigl( | \delta_1\rangle|1 \rangle\bigr) = \langle \gamma_0 | \delta_1\rangle \langle 0 | 1 \rangle = 0$$

여기서 $U U^{\dagger} = \mathbb{I}$라는 사실과 텐서 곱의 inner product (내적)가 inner products (내적)의 곱이라는 사실을 사용했습니다:

$$\langle u \otimes v | w \otimes x\rangle = \langle u | w\rangle \langle v | x\rangle$$

이러한 벡터의 모든 선택에 대해 (이러한 벡터가 같은 수의 항목을 가지도록 가정). Inner product (내적) $\langle \gamma_0 | \delta_1\rangle$의 값은 $\langle 0 | 1 \rangle = 0$과 곱해지기 때문에 무관합니다.

마지막으로, 방정식 $(1)$과 $(2)$의 왼쪽에 있는 벡터의 inner product (내적)를 취하면 이미 계산한 것과 같은 0 값을 가져야 하므로:

$$0 = \bigl( |0\cdots 0\rangle | \psi\rangle\bigr)^{\dagger} \bigl(|0\cdots 0\rangle| \phi\rangle\bigr) = \langle 0\cdots 0 | 0\cdots 0 \rangle \langle \psi | \phi \rangle = \langle \psi | \phi \rangle$$

따라서 원하는 것을 결론지었습니다. 즉, $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$는 orthogonal (직교)합니다: $\langle \psi | \phi \rangle = 0$.

내적 계산 과정

비직교 상태 구분 불가능성 증명의 내적 계산 과정을 다이어그램으로 표현하면:

역으로, 직교 양자 상태는 완벽하게 구별할 수 있습니다

반대로, orthogonal (직교)한 양자 상태는 완벽하게 구별할 수 있습니다. 특히, 구별할 두 상태가 $|\phi\rangle$와 $|\psi\rangle$이고, $\langle \phi|\psi\rangle = 0$이면, 예를 들어 다음 행렬로 설명되는 projective measurement (사영 측정)를 수행하여 이러한 상태를 완벽하게 구별할 수 있습니다:

직교 상태의 완벽한 구별

직교 상태를 완벽하게 구별하는 과정을 다이어그램으로 표현하면:

$$\bigl\{ |\phi\rangle\langle\phi|, \mathbb{I} - |\phi\rangle\langle\phi| \bigr\}$$

상태 $|\phi\rangle$에 대해, 첫 번째 결과가 항상 얻어집니다:

$$\begin{aligned} & \bigl\| |\phi\rangle\langle\phi| |\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\phi\rangle\langle\phi|\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\phi\rangle \bigr\|^2 = 1 \\ & \bigl\| (\mathbb{I} - |\phi\rangle\langle\phi|) |\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\phi\rangle - |\phi\rangle\langle\phi|\phi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\phi\rangle - |\phi\rangle \bigr\|^2 = 0 \end{aligned}$$

그리고 상태 $|\psi\rangle$에 대해, 두 번째 결과가 항상 얻어집니다:

$$\begin{aligned} & \bigl\| |\phi\rangle\langle\phi| |\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| 0 \bigr\|^2 = 0 \\ & \bigl\| (\mathbb{I} - |\phi\rangle\langle\phi|) |\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\psi\rangle - |\phi\rangle\langle\phi|\psi\rangle \bigr\|^2 = \bigl\| |\psi\rangle \bigr\|^2 = 1 \end{aligned}$$

용어 설명: Projective measurement (사영 측정)

• 의미: Projective measurement (사영 측정)는 standard basis measurement (표준 기저 측정)를 일반화한 측정 방법입니다
• 발음: "사영 측정" 또는 "projective measurement"
• 특징:
  • 측정 연산자 $\{\Pi_i\}$는 $\sum_i \Pi_i = \mathbb{I}$와 $\Pi_i^2 = \Pi_i$를 만족합니다
  • 각 $\Pi_i$는 사영 연산자(projection operator)입니다
• 표준 기저 측정: Standard basis measurement (표준 기저 측정)는 projective measurement (사영 측정)의 특수한 경우입니다.

양자 회로에 대한 추가 설명

Boolean circuits (불린 회로)

Boolean circuits (불린 회로)의 예시로, XOR (exclusive-OR) 연산을 계산하는 회로가 있습니다:

X ──[∙]──[∧]──[∨]── XOR
    │    │
Y ──┴────┴──[∧]──

여기서:

• $X$와 $Y$는 입력 비트입니다
• $∙$는 FANOUT (팬아웃) 연산입니다
• $∧$는 AND 연산입니다
• $∨$는 OR 연산입니다

XOR 연산의 진리표:

$$\begin{array}{c|c} ab & a \oplus b \\ \hline 00 & 0 \\ 01 & 1 \\ 10 & 1 \\ 11 & 0 \end{array}$$

양자 회로의 구성 요소

양자 회로는 다음 요소들로 구성됩니다:

1. Qubit wires (Qubit 선): 수평선으로 표현되며, 각 선은 하나의 qubit을 나타냅니다
2. Unitary gates (유니터리 게이트):
   • 단일 qubit 게이트: $H$, $X$, $Y$, $Z$, $S$, $T$ 등
   • 다중 qubit 게이트: Controlled-NOT, SWAP 등
3. Measurement gates (측정 게이트): 표준 기저 측정을 나타냅니다

Qiskit의 qubit 순서 규약

Qiskit에서, 회로 다이어그램의 가장 위쪽 qubit은 인덱스 $0$을 가지며, qubit 튜플(또는 문자열, Cartesian product, 텐서 곱)의 가장 오른쪽 위치에 해당합니다. 두 번째로 위쪽 qubit은 인덱스 $1$을 가지며, 튜플에서 오른쪽에서 두 번째 위치에 해당합니다. 가장 아래쪽 qubit은 가장 높은 인덱스를 가지며, 따라서 튜플의 가장 왼쪽 위치에 해당합니다.

특히, Qiskit의 $n$-qubit 회로에서 qubit의 기본 이름은 $n$-튜플 $(\mathsf{q_{n-1}},\ldots,\mathsf{q_{0}})$로 표현되며, $\mathsf{q_{0}}$는 회로 다이어그램에서 위쪽에 있고 $\mathsf{q_{n-1}}$는 아래쪽에 있습니다.

이것은 회로에서 qubit을 정렬하는 더 일반적인 규약의 역순이며, 혼란의 빈번한 원천입니다.

Bell state 생성 회로

다음 회로는 Bell state (벨 상태) $|\phi^+\rangle$를 생성합니다:

|0⟩ ──[H]───────●──
                │
|0⟩ ────────────⊕──

이 회로의 동작:

1. 첫 번째 연산은 $Y$에 대한 Hadamard operation (Hadamard 연산)입니다:

   $$\mathbb{I} \otimes H$$

2. 두 번째 연산은 $Y$가 control (제어)이고 $X$가 target (대상)인 controlled-NOT operation (제어-NOT 연산)입니다.

전체 회로에 의해 구현된 unitary operation (유니터리 연산)은 다음과 같습니다:

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

특히, Bell states (벨 상태)에 대한 표기법을 상기하면:

$$\begin{aligned} U |00\rangle & = |\phi^+\rangle \\ U |01\rangle & = |\phi^-\rangle \\ U |10\rangle & = |\psi^+\rangle \\ U |11\rangle & = -|\psi^-\rangle \end{aligned}$$

이 회로는 따라서 두 qubit이 $|00\rangle$로 초기화된 상태에서 실행하면 상태 $|\phi^+\rangle$를 만드는 방법을 제공합니다. 더 일반적으로, 이것은 표준 기저를 Bell basis (벨 기저)로 변환하는 방법을 제공합니다.

측정이 포함된 회로

양자 회로는 classical bit wires (고전 비트 선)도 포함할 수 있으며, 이는 이중 선으로 표시됩니다:

|0⟩ ──[H]───────●──[M]──→ A
                │
|0⟩ ────────────⊕──[M]──→ B

여기서 $A$와 $B$는 classical bits (고전 비트)이며, measurement gates (측정 게이트)는 표준 기저 측정을 나타냅니다. Qubit은 측정 후 상태로 변경되며, 측정 결과는 화살표가 가리키는 classical bits (고전 비트)에 덮어씌워집니다.

Inner products에 대한 추가 설명

내적의 기하학적 해석

두 벡터 $|\psi\rangle$와 $|\phi\rangle$의 inner product (내적)는 다음과 같이 기하학적으로 해석할 수 있습니다:

$$\langle\psi|\phi\rangle = \||\psi\rangle\| \||\phi\rangle\| \cos\theta$$

여기서 $\theta$는 두 벡터 사이의 각도입니다.

두 벡터가 orthogonal (직교)하면 ($\langle\psi|\phi\rangle = 0$), $\cos\theta = 0$이므로 $\theta = 90^\circ$입니다.

Orthonormality (정규직교성)

벡터 집합 $\{|v_1\rangle, |v_2\rangle, \ldots, |v_n\rangle\}$가 orthonormal (정규직교)하다는 것은 다음을 만족한다는 의미입니다:

$$\langle v_i | v_j \rangle = \delta_{ij}$$

여기서 $\delta_{ij}$는 Kronecker delta입니다:

$$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & \text{if } i = j \\ 0 & \text{if } i \neq j \end{cases}$$

기호 설명: $\delta_{ij}$ (크로네커 델타)

• 의미: Kronecker delta (크로네커 델타)로, 두 인덱스가 같으면 1, 다르면 0인 함수입니다
• 발음: "크로네커 델타" 또는 "Kronecker delta"
• 사용: $\delta_{ij}$는 $i = j$일 때 1, $i \neq j$일 때 0입니다.
• 응용: 정규직교 기저를 정의하는 데 사용됩니다.

표준 기저 벡터 $\{|0\rangle, |1\rangle\}$는 orthonormal (정규직교)합니다:

$$\langle 0 | 0 \rangle = 1, \quad \langle 0 | 1 \rangle = 0, \quad \langle 1 | 0 \rangle = 0, \quad \langle 1 | 1 \rangle = 1$$

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Qiskit을 사용한 양자 회로 구현

이 섹션에서는 Qiskit을 사용하여 양자 회로를 구성하고 실행하는 방법을 살펴봅니다.

QuantumCircuit 클래스

Qiskit의 QuantumCircuit 클래스를 사용하여 양자 회로를 만들 수 있습니다:

from qiskit import QuantumCircuit

# 2-qubit 회로 생성
circuit = QuantumCircuit(2)

# Hadamard 게이트를 첫 번째 qubit에 적용
circuit.h(0)

# Controlled-NOT 게이트 (첫 번째 qubit이 제어, 두 번째 qubit이 대상)
circuit.cx(0, 1)

# 회로 시각화
display(circuit.draw(output="mpl"))

Bell state 생성

Bell state (벨 상태)를 생성하는 회로:

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector

# Bell state 생성 회로
circuit = QuantumCircuit(2)
circuit.h(0)  # Hadamard on qubit 0
circuit.cx(0, 1)  # CNOT with control=0, target=1

# 초기 상태 |00⟩에서 회로 실행
initial_state = Statevector([1, 0, 0, 0])
final_state = initial_state.evolve(circuit)

display(final_state.draw("latex"))
# 출력: \frac{\sqrt{2}}{2} |00\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2} |11\rangle

측정 추가

회로에 측정을 추가할 수 있습니다:

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Statevector

circuit = QuantumCircuit(2, 2)  # 2 qubits, 2 classical bits
circuit.h(0)
circuit.cx(0, 1)
circuit.measure([0, 1], [0, 1])  # qubits를 classical bits에 측정

display(circuit.draw(output="mpl"))

회로의 유니터리 행렬 얻기

회로에 해당하는 유니터리 행렬을 얻는 방법:

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import Operator

circuit = QuantumCircuit(2)
circuit.h(0)
circuit.cx(0, 1)

# 회로에서 Operator 생성
U = Operator.from_circuit(circuit)
display(U.draw("latex"))

요약

1. Circuits (회로): 계산의 모델로, wires (선)가 정보를 전달하고 gates (게이트)가 연산을 나타냅니다
2. Quantum circuits (양자 회로):
   • Wires (선)는 qubit을 나타냅니다
   • Gates (게이트)는 unitary operations (유니터리 연산)과 measurements (측정)을 나타냅니다
   • 정보는 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르며 비순환적입니다
3. Inner products (내적):
   • 두 벡터의 내적: $\langle\psi|\phi\rangle = \sum_a \overline{\alpha_a} \beta_a$
   • Euclidean norm과의 관계: $\||\psi\rangle\| = \sqrt{\langle\psi|\psi\rangle}$
   • Conjugate symmetry (켤레 대칭)과 linearity (선형성)
4. Irrelevance of global phases (전역 위상의 무관성):
   • Global phase (전역 위상)만큼 다른 두 상태는 물리적으로 동일합니다
   • 측정 결과에 영향을 주지 않습니다
5. No-cloning theorem (복제 불가 정리):
   • 알려지지 않은 양자 상태를 완벽하게 복제하는 것은 불가능합니다
   • 복제 연산은 비선형이므로 유니터리 연산으로 표현될 수 없습니다
   • 표준 기저 상태는 복제 가능합니다
6. Discriminating non-orthogonal states (비직교 상태 구분):
   • 비직교 양자 상태는 완벽하게 구별할 수 없습니다
   • 완벽하게 구별 가능한 두 상태는 반드시 직교해야 합니다
   • Projective measurement (사영 측정)를 사용하여 직교 상태를 구별할 수 있습니다

이러한 개념들은 양자 알고리즘과 양자 정보 이론을 이해하는 데 필수적입니다.